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法律研究连续时间系统的级联形式实现
连续时间系统的实现
连续时间LTI系统的实现意味着获得与系统微分方程或传递函数相对应的网络。
系统的传递函数可以通过使用积分器或微分器来实现。由于某些缺点，微分器不用于实现实际系统。因此，仅使用积分器来实现连续时间系统。加法器和乘法器是另外两个用于实现连续时间系统的元件。
CT系统的级联形式实现
在连续时间系统的级联形式实现中，系统的传递函数表示为若干一阶和二阶传递函数的乘积，然后使用积分器和加法器实现每个传递函数，最后将所有实现的结构级联，即串联连接。
第一个结构的输出连接到第二个结构的输入，第二个结构的输出连接到第三个结构的输入，依此类推。因此，在连续时间系统的级联形式实现中，输入连接到第一个结构，输出从最后一个结构获取。
以下示例说明了级联形式中连续时间系统的实现。
数值示例
使用级联形式实现，实现由传递函数描述的连续时间系统。
$$\mathrm{\mathit{H\left ( s \right )\mathrm{\,=\,}\frac{\mathrm{3}\left ( s^{\mathrm{2}}\mathrm{\,+\,}\mathrm{3}s\mathrm{\,+\,}\mathrm{2} \right )}{s^{\mathrm{3}}\mathrm{\,+\,}\mathrm{12}s^{\mathrm{2}}\mathrm{\,+\,}\mathrm{47}s\mathrm{\,+\,}\mathrm{60}}}}$$
解答
给定的传递函数为：
$$\mathrm{\mathit{H\left ( s \right )\mathrm{\,=\,}\frac{\mathrm{3}\left ( s^{\mathrm{2}}\mathrm{\,+\,}\mathrm{3}s\mathrm{\,+\,}\mathrm{2} \right )}{s^{\mathrm{3}}\mathrm{\,+\,}\mathrm{12}s^{\mathrm{2}}\mathrm{\,+\,}\mathrm{47}s\mathrm{\,+\,}\mathrm{60}}}}$$
将给定的传递函数表示为几个传递函数的乘积，如下所示：
$$\mathrm{\mathit{H\left ( s \right )\mathrm{\,=\,}\frac{\mathrm{3}\left ( s\mathrm{\,+\,}\mathrm{2} \right )\left ( s\mathrm{\,+\,}\mathrm{1} \right )}{\left ( s\mathrm{\,+\,}\mathrm{3} \right )\left ( s\mathrm{\,+\,}\mathrm{4} \right )\left ( s\mathrm{\,+\,}\mathrm{5} \right )}}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow H\left ( s \right )\mathrm{\,=\,}\left ( \frac{\mathrm{3}}{s\mathrm{\,+\,}\mathrm{3}} \right )\left ( \frac{s\mathrm{\,+\,}\mathrm{2}}{s\mathrm{\,+\,}\mathrm{4}} \right )\left ( \frac{s\mathrm{\,+\,}\mathrm{1}}{s\mathrm{\,+\,}\mathrm{5}} \right )}}$$
令：
$$\mathrm{\mathit{H_{\mathrm{1}}\left ( s \right )\mathrm{\,=\,}\left ( \frac{\mathrm{3}}{s\mathrm{\,+\,}\mathrm{3}} \right )\mathrm{\,=\,}\frac{\mathrm{3}s^{-\mathrm{1}}}{\mathrm{1\mathrm{\,+\,}3}s^{\mathrm{-1}}}}} $$
$$\mathrm{\mathit{H_{\mathrm{2}}\left ( s \right )\mathrm{\,=\,}\left ( \frac{s\mathrm{\,+\,}\mathrm{2}}{s\mathrm{\,+\,}\mathrm{4}} \right )\mathrm{\,=\,}\frac{\mathrm{1\mathrm{\,+\,}2}s^{\mathrm{-1}}}{\mathrm{1\mathrm{\,+\,}4}s^{-\mathrm{1}}}}}$$
$$\mathrm{\mathit{H_{\mathrm{3}}\left ( s \right )\mathrm{\,=\,}\left ( \frac{s\mathrm{\,+\,}\mathrm{1}}{s\mathrm{\,+\,}\mathrm{5}} \right )\mathrm{\,=\,}\frac{\mathrm{1\mathrm{\,+\,}}s^{\mathrm{-1}}}{\mathrm{1\mathrm{\,+\,}5}s^{-\mathrm{1}}}}}$$
每个传递函数都可以如下实现：
步骤 1
实现 $\mathrm{\mathit{H_{\mathrm{1}}\left ( s \right )}}$ −
$$\mathrm{\mathit{H_{\mathrm{1}}\left ( s \right )\mathrm{\,=\,}\frac{X_{\mathrm{1}}\left ( s \right )}{X\left ( s \right )}\mathrm{\,=\,}\frac{X_{\mathrm{1}}\left ( s \right )}{A\left ( s \right )}\frac{A\left ( s \right )}{X\left ( s \right )}\mathrm{\,=\,}\frac{\mathrm{3}s^{-\mathrm{1}}}{\mathrm{1\mathrm{\,+\,}3}s^{\mathrm{-1}}}}}$$
$$\mathrm{\mathit{\frac{X_{\mathrm{1}}\left ( s \right )}{A\left ( s \right )}\mathrm{\,=\,}\mathrm{3}s^{-\mathrm{1}}}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow X_{\mathrm{1}}\left ( s \right )\mathrm{\,=\,}\mathrm{3}s^{-\mathrm{1}}A\left ( s \right )}}$$
以及
$$\mathrm{\mathit{\frac{A\left ( s \right )}{X\left ( s \right )}\mathrm{\,=\,}\left ( \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1\mathrm{\,+\,}3}s^{-\mathrm{1}}} \right )}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow A\left ( s \right )\frac{}{}\mathrm{\,=\,}X\left ( s \right )-\mathrm{3}s^{-\mathrm{1}}A\left ( s \right )}}$$
步骤 2
实现 $\mathrm{\mathit{H_{\mathrm{2}}\left ( s \right )}}$ −
$$\mathrm{\mathit{H_{\mathrm{2}}\left ( s \right )\mathrm{\,=\,}\frac{X_{\mathrm{2}}\left ( s \right )}{X_{\mathrm{1}}\left ( s \right )}\mathrm{\,=\,}\frac{X_{\mathrm{2}}\left ( s \right )}{A_{\mathrm{1}}\left ( s \right )}\frac{A_{\mathrm{1}}\left ( s \right )}{X_{\mathrm{1}}\left ( s \right )}\mathrm{\,=\,}\frac{\mathrm{1\mathrm{\,+\,}2}s^{\mathrm{-1}}}{\mathrm{1\mathrm{\,+\,}4}s^{-\mathrm{1}}}}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow \frac{X_{\mathrm{2}}\left ( s \right )}{A_{\mathrm{1}}\left ( s \right )}\mathrm{\,=\,}\mathrm{1}\mathrm{\,+\,}\mathrm{2}s^{\mathrm{-1}}}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow X_{\mathrm{2}}\left ( s \right )\mathrm{\,=\,}A_{\mathrm{1}}\left ( s \right )\mathrm{\,+\,}\mathrm{2}s^{\mathrm{-1}}A\left ( s \right )}}$$
以及，
$$\mathrm{\mathit{\frac{A_{\mathrm{1}}\left ( s \right )}{X_{\mathrm{1}}\left ( s \right )}\mathrm{\,=\,}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1\mathrm{\,+\,}4}s^{\mathrm{-1}}}}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow A_{\mathrm{1}}\left ( s \right )\mathrm{\,=\,}X_{\mathrm{1}}\left ( s \right )-\mathrm{4}s^{\mathrm{-1}}A_{\mathrm{1}}\left ( s \right )}}$$
步骤 3
实现 $\mathrm{\mathit{H_{\mathrm{3}}\left ( s \right )}}$ −
$$\mathrm{\mathit{H_{\mathrm{3}}\left ( s \right )\mathrm{\,=\,}\frac{Y\left ( s \right )}{X_{\mathrm{2}}\left ( s \right )}\mathrm{\,=\,}\frac{Y\left ( s \right )}{A_{\mathrm{2}}\left ( s \right )}\frac{A_{\mathrm{2}}\left ( s \right )}{X_{\mathrm{2}}\left ( s \right )}\mathrm{\,=\,}\frac{\mathrm{1\mathrm{\,+\,}}s^{\mathrm{-1}}}{\mathrm{1\mathrm{\,+\,}5}s^{-\mathrm{1}}}}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow \frac{Y\left ( s \right )}{A_{\mathrm{2}}\left ( s \right )}\mathrm{\,=\,}\mathrm{1\mathrm{\,+\,}}s^{\mathrm{-1}}}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow Y\left ( s \right ) \mathrm{\,=\,}A_{\mathrm{2}}\left ( s \right )\mathrm{\,+\,}s^{\mathrm{-1}}A_{\mathrm{2}}\left ( s \right )}}$$
以及，
$$\mathrm{\mathit{\frac{A_{\mathrm{2}}\left ( s \right )}{X_{\mathrm{2}}\left ( s \right )}\mathrm{\,=\,}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1\mathrm{\,+\,}5}s^{\mathrm{-1}}}}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow A_{\mathrm{2}}\left ( s \right )\mathrm{\,=\,}X_{\mathrm{2}}\left ( s \right )-\mathrm{5}s^{\mathrm{-1}}A_{\mathrm{2}\left ( s \right )}}}$$
步骤 4
现在，将上述三个结构级联连接以获得系统传递函数 H(s) 的级联实现，如下图所示。
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