使用Python演示统计学中的68-95-99.7法则

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统计学为我们提供了强大的工具来分析和理解数据。统计学中的一个基本概念是68-95-99.7法则，也称为经验法则或三西格玛法则。该法则允许我们根据数据的标准差对数据的分布做出重要的推断。在这篇博文中，我们将探讨68-95-99.7法则，并演示如何使用Python应用它。

68-95-99.7法则概述

68-95-99.7法则提供了一种方法来估计在正态分布中，落在距均值一定标准差范围内的數據百分比。根据该法则：

• 大约68%的数据落在均值的一个标准差范围内。

• 大约95%的数据落在均值的两个标准差范围内。

• 大约99.7%的数据落在均值的三个标准差范围内。

这些百分比适用于遵循正态分布（也称为钟形曲线）的数据集。理解这个法则可以让我们快速评估数据的离散程度，并识别异常值或异常观察。

在Python中实现68-95-99.7法则

为了演示68-95-99.7法则的实际应用，我们将使用Python及其流行的数据分析库NumPy。NumPy提供了高效的数值运算和统计函数，可以帮助我们计算所需的值。让我们从导入所需的库开始：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

接下来，我们将使用numpy.random.normal()函数生成遵循正态分布的随机数据集。我们将使用均值为0，标准差为1：

np.random.seed(42)  # Set the random seed for reproducibility
data = np.random.normal(0, 1, 10000)

现在，我们可以计算数据集的均值和标准差：

mean = np.mean(data)
std = np.std(data)

为了可视化数据以及68-95-99.7法则覆盖的区域，我们可以使用matplotlib.pyplot.hist()函数创建一个直方图：

plt.hist(data, bins=30, density=True, alpha=0.7)

# Plot the mean and standard deviations
plt.axvline(mean, color='r', linestyle='dashed', linewidth=1, label='Mean')
plt.axvline(mean - std, color='g', linestyle='dashed', linewidth=1, label='1 STD')
plt.axvline(mean + std, color='g', linestyle='dashed', linewidth=1)
plt.axvline(mean - 2*std, color='b', linestyle='dashed', linewidth=1, label='2 STD')
plt.axvline(mean + 2*std, color='b', linestyle='dashed', linewidth=1)
plt.axvline(mean - 3*std, color='m', linestyle='dashed', linewidth=1, label='3 STD')
plt.axvline(mean + 3*std, color='m', linestyle='dashed', linewidth=1)

plt.legend()
plt.xlabel('Value')
plt.ylabel('Density')
plt.title('Histogram of the Dataset')
plt.show()

生成的直方图将显示数据的分布，以及用虚线标出的均值和标准差。

为了计算每个范围所覆盖的百分比，我们可以使用正态分布的累积分布函数 (CDF)。NumPy函数numpy.random.normal()生成正态分布的数据，但NumPy也提供了numpy.random.normal()来计算CDF：

# Calculate the percentage within one standard deviation
pct_within_1_std = np.sum(np.logical_and(data >= mean - std, data 7lt;= mean + std)) / len(data)

# Calculate the percentage within two standard deviations
pct_within_2_std = np.sum(np.logical_and(data >= mean - 2*std, data <= mean + 2*std)) / len(data)

# Calculate the percentage within three standard deviations
pct_within_3_std = np.sum(np.logical_and(data >= mean - 3*std, data <= mean + 3*std)) / len(data)

print("Percentage within one standard deviation: {:.2%}".format(pct_within_1_std))
print("Percentage within two standard deviations: {:.2%}".format(pct_within_2_std))
print("Percentage within three standard deviations: {:.2%}".format(pct_within_3_std))

运行此代码后，您将看到落在距均值一个、两个和三个标准差范围内的數據百分比。

Percentage within one standard deviation: 68.27%
Percentage within two standard deviations: 95.61%
Percentage within three standard deviations: 99.70%

这些结果与根据68-95-99.7法则的预期百分比非常接近。

68-95-99.7法则的解释

每个范围所覆盖的百分比具有具体的解释。落在均值一个标准差范围内的數據相对常见，而落在三个标准差范围之外的數據则被认为是罕见的。理解这些解释有助于对数据做出有意义的推断。

68-95-99.7法则的局限性

虽然68-95-99.7法则是一个有价值的指导原则，但它可能无法准确地应用于与正态分布偏差很大的数据集。在处理此类数据集时，务必考虑其他统计技术并进行进一步分析。

异常值和68-95-99.7法则

异常值会极大地影响每个范围所覆盖的百分比的准确性。这些极值会歪曲分布并影响该法则的有效性。重要的是要适当地识别和处理异常值，以确保统计分析的准确性。

现实生活中的例子

68-95-99.7法则在各个领域都有应用。例如，它与质量控制流程中识别缺陷产品、财务分析中评估投资风险和回报、医疗保健研究中了解患者特征以及许多其他需要了解数据分布的领域相关。

随着您对统计学的深入了解，请考虑探索其他补充68-95-99.7法则的概念。偏度、峰度、置信区间、假设检验和回归分析只是可以进一步增强您对数据理解和分析的统计工具的几个例子。

结论

68-95-99.7法则是一个强大的统计学概念，它允许我们根据数据的标准差来理解数据的分布。通过应用该法则，我们可以估计落在围绕均值的特定范围内的數據的比例。在本博文中，我们使用Python和NumPy库来生成随机数据集、对其进行可视化以及计算每个范围所覆盖的百分比。理解这个法则使我们能够对数据做出有意义的推断，并识别潜在的异常值或异常观察。