化简
(i) $(x - y) (x + y) (x^2 + y^2) (x^4 + y^4)$
(ii) $(2x - 1) (2x + 1) (4x^2 + 1) (16x^4 + 1)$
(iii) $(7m - 8n)^2 + (7m + 8n)^2$
(iv) $(2.5p - 1.5q)^2 - (1.5p - 2.5q)^2$
(v) $(m^2 - n^2m)^2 + 2m^3n^2$
已知
(i) $(x - y) (x + y) (x^2 + y^2) (x^4 + y^4)$
(ii) $(2x - 1) (2x + 1) (4x^2 + 1) (16x^4 + 1)$
(iii) $(7m - 8n)^2 + (7m + 8n)^2$
(iv) $(2.5p - 1.5q)^2 - (1.5p - 2.5q)^2$
(v) $(m^2 - n^2m)^2 + 2m^3n^2$
要求
我们必须化简给定的表达式。
解答
这里，我们需要化简给定的表达式。利用代数恒等式 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ 和 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，我们可以简化给定的表达式。
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.............(I)
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.............(II)
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$................(III)
(i) 给定的表达式是 $(x - y) (x + y) (x^2 + y^2) (x^4 + y^4)$。
$(x - y) (x + y) (x^2 + y^2) (x^4 + y^4)=(x^2-y^2)(x^2+y^2)(x^4+y^4)$ [利用 (III)]
$(x - y) (x + y) (x^2 + y^2) (x^4 + y^4)=[(x^2)^2-(y^2)^2](x^4+y^4)$ [利用 (III)]
$(x - y) (x + y) (x^2 + y^2) (x^4 + y^4)=(x^4-y^4)(x^4+y^4)$
$(x - y) (x + y) (x^2 + y^2) (x^4 + y^4)=(x^4)^2-(y^4)^2$ [利用 (III)]
$(x - y) (x + y) (x^2 + y^2) (x^4 + y^4)=x^8-y^8$
(ii) 给定的表达式是 $(2x - 1) (2x + 1) (4x^2 + 1) (16x^4 + 1)$。
$(2x - 1) (2x + 1) (4x^2 + 1) (16x^4 + 1)=[(2x)^2 - (1)^2] (4x^2 + 1) (16x^4 + 1)$ [利用 (III)]
$(2x - 1) (2x + 1) (4x^2 + 1) (16x^4 + 1)=(4x^2 - 1) (4x^2 + 1) (16x^4 + 1)$
$(2x - 1) (2x + 1) (4x^2 + 1) (16x^4 + 1)=[(4x^2)^2 - (1)^2] (16x^4 + 1)$ [利用 (III)]
$(2x - 1) (2x + 1) (4x^2 + 1) (16x^4 + 1)=(16x^4 - 1) (16x^4 + 1)$
$(2x - 1) (2x + 1) (4x^2 + 1) (16x^4 + 1)=(16x^4)^2 - (1)^2$ [利用 (III)]
$(2x - 1) (2x + 1) (4x^2 + 1) (16x^4 + 1)=256x^8 - 1$
(iii) 给定的表达式是 $(7m - 8n)^2 + (7m + 8n)^2$。
$(7m - 8n)^2 + (7m + 8n)^2=[(7m)^2-2(7m)(8n)+(8n)^2]+[(7m)^2+2(7m)(8n)+(8n)^2]$ [利用 (I) 和 (II)]
$(7m-8n)^2+(7m+8n)^2=(49m^2-112mn+64n^2)+(49m^2+112mn+64n^2)$
$(7m-8n)^2+(7m+8n)^2=49m^2+49m^2-112mn+112mn+64n^2+64n^2$
$(7m-8n)^2+(7m+8n)^2=98m^2+128n^2$
(iv) 给定的表达式是 $(2.5p - 1.5q)^2 - (1.5p - 2.5q)^2$。
$(2.5p - 1.5q)^2 - (1.5p - 2.5q)^2=[(2.5p - 1.5q)+(1.5p - 2.5q)][(2.5p - 1.5q)-(1.5p - 2.5q)]$ [利用 (III)]
$(2.5p - 1.5q)^2 - (1.5p - 2.5q)^2=(2.5p+1.5p-1.5q-2.5q)(2.5p-1.5p- 1.5q+ 2.5q)$
$(2.5p - 1.5q)^2 - (1.5p - 2.5q)^2=(4p-4q)(p+ q)$
$(2.5p - 1.5q)^2 - (1.5p - 2.5q)^2=4(p-q)(p+ q)$ (提取公因数4)
$(2.5p - 1.5q)^2 - (1.5p - 2.5q)^2=4(p^2-q^2)$ [利用 (III)]
(v) 给定的表达式是 $(m^2 - n^2m)^2 + 2m^3n^2$。
$(m^2-n^2m)^2+2m^3n^2=[(m^2)^2-2(m^2)(n^2m)+(n^2m)^2]+2m^3n^2$ [利用 (II)]
$(m^2-n^2m)^2+2m^3n^2=m^4-2m^3n^2+n^4m^2+2m^3n^2$
$(m^2-n^2m)^2+2m^3n^2=m^4-2m^3n^2+2m^3n^2+n^4m^2$
$(m^2-n^2m)^2+2m^3n^2=m^4+n^4m^2$
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