SymPy - 函数类

Sympy 包含 Function 类，该类定义在 sympy.core.function 模块中。它是所有应用数学函数的基类，也是未定义函数类的构造函数。

以下函数类别继承自 Function 类：

复数函数
三角函数
整数函数
组合函数
其他杂项函数

复数函数

这组函数定义在 **sympy.functions.elementary.complexes** 模块中。

此函数返回表达式的实部。

>>> from sympy import * 
>>> re(5+3*I)

以上代码片段的输出如下所示：

>>> re(I)

以上代码片段的输出为：

此函数返回表达式的虚部。

>>> im(5+3*I)

以上代码片段的输出如下所示：

>>> im(I)

以上代码片段的输出如下所示：

sign

此函数返回表达式的复数符号。

对于实数表达式，符号将为：

1，如果表达式为正
0，如果表达式等于零
-1，如果表达式为负

如果表达式为虚数，则返回的符号为：

I，如果 im(表达式) 为正
-I，如果 im(表达式) 为负

>>> sign(1.55), sign(-1), sign(S.Zero)

以上代码片段的输出如下所示：

(1, -1, 0)

>>> sign (-3*I), sign(I*2)

以上代码片段的输出如下所示：

(-I, I)

Abs

此函数返回复数的绝对值。它定义为复平面上原点 (0,0) 和点 (a,b) 之间的距离。此函数是内置函数 abs() 的扩展，可以接受符号值。

>>> Abs(2+3*I)

以上代码片段的输出如下所示：

$\sqrt13$

conjugate

此函数返回复数的共轭。要找到复共轭，我们更改虚部的符号。

>>> conjugate(4+7*I)

执行以上代码片段后，您将获得以下输出：

4 - 7i

三角函数

SymPy 定义了所有三角函数 - sin、cos、tan 等，以及其反函数，例如 asin、acos、atan 等。这些函数计算以弧度表示的给定角度的相应值。

>>> sin(pi/2), cos(pi/4), tan(pi/6)

以上代码片段的输出如下所示：

(1, sqrt(2)/2, sqrt(3)/3)

>>> asin(1), acos(sqrt(2)/2), atan(sqrt(3)/3)

以上代码片段的输出如下所示：

(pi/2, pi/4, pi/6)

整数函数

这是一组用于对整数执行各种运算的函数。

ceiling

这是一个单变量函数，返回不小于其参数的最小整数值。对于复数，分别取实部和虚部的上界。

>>> ceiling(pi), ceiling(Rational(20,3)), ceiling(2.6+3.3*I)

以上代码片段的输出如下所示：

(4, 7, 3 + 4*I)

floor

此函数返回不大于其参数的最大整数值。对于复数，此函数也分别取实部和虚部的下界。

>>> floor(pi), floor(Rational(100,6)), floor(6.3-5.9*I)

以上代码片段的输出如下所示：

(3, 16, 6 - 6*I)

frac

此函数表示 x 的小数部分。

>>> frac(3.99), frac(Rational(10,3)), frac(10)

以上代码片段的输出如下所示：

(0.990000000000000, 1/3, 0)

组合函数

组合学是数学的一个领域，涉及有限或离散系统中选择、排列和运算的问题。

factorial

阶乘在组合学中非常重要，它给出了 n 个对象可以排列的方式的数量。它用符号 𝑥! 表示。此函数是在非负整数上实现阶乘函数，负整数的阶乘是复无穷大。

>>> x=Symbol('x') 
>>> factorial(x)

以上代码片段的输出如下所示：

>>> factorial(5)

以上代码片段的输出如下所示：

120

>>> factorial(-1)

以上代码片段的输出如下所示：

$\infty\backsim$

binomial

此函数表示从 n 个元素的集合中选择 k 个元素的方式的数量。

>>> x,y=symbols('x y') 
>>> binomial(x,y)

以上代码片段的输出如下所示：

$(\frac{x}{y})$

>>> binomial(4,2)

以上代码片段的输出如下所示：

帕斯卡三角形的行可以用二项式函数生成。

>>> for i in range(5): print ([binomial(i,j) for j in range(i+1)])

执行以上代码片段后，您将获得以下输出：

[1]

[1, 1]

[1, 2, 1]

[1, 3, 3, 1]

[1, 4, 6, 4, 1]

fibonacci

斐波那契数是整数序列，由初始项 F0=0、F1=1 和二项递推关系 Fn=Fn−1+Fn−2 定义。

>>> [fibonacci(x) for x in range(10)]

执行以上代码片段后，将获得以下输出：

[0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34]

tribonacci

特里波那契数是整数序列，由初始项 F0=0、F1=1、F2=1 和三项递推关系 Fn=Fn-1+Fn-2+Fn-3 定义。

>>> tribonacci(5, Symbol('x'))

以上代码片段给出的输出等效于以下表达式：

$x^8 + 3x^5 + 3x^2$

>>> [tribonacci(x) for x in range(10)]

执行以上代码片段后，将获得以下输出：

[0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81]

杂项函数

以下是某些常用函数的列表：

Min - 返回列表的最小值。它命名为 Min 以避免与内置函数 min 冲突。

Max - 返回列表的最大值。它命名为 Max 以避免与内置函数 max 冲突。

root - 返回 x 的 n 次方根。

sqrt - 返回 x 的主要平方根。

cbrt - 此函数计算 x 的主要立方根，(x++Rational(1,3) 的快捷方式)。

以下是以上杂项函数及其相应输出的示例：

>>> Min(pi,E)

>>> Max(5, Rational(11,2))

$\frac{11}{2}$

>>> root(7,Rational(1,2))

>>> sqrt(2)

$\sqrt2$

>>> cbrt(1000)

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