SymPy - 矩阵

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在数学中，矩阵是一个二维数组，包含数字、符号或表达式。矩阵操作理论处理对矩阵对象执行算术运算，但需遵循某些规则。

线性变换是矩阵的重要应用之一。许多科学领域，特别是与物理学相关的领域，都使用与矩阵相关的应用。

SymPy 包含一个处理矩阵的模块，其中包括 Matrix 类，其对象代表一个矩阵。

注意：如果您想单独执行本章中的所有代码片段，则需要导入矩阵模块，如下所示：

>>> from sympy.matrices import Matrix

示例

>>> from sympy.matrices import Matrix 
>>> m=Matrix([[1,2,3],[2,3,1]]) 
>>> m
$\displaystyle \left[\begin{matrix}1 & 2 & 3\\2 & 3 & 1\end{matrix}\right]$

在 Python shell 中执行上述命令后，将生成以下输出：

[1 2 3 2 3 1]

矩阵是由适当大小的列表对象创建的。您也可以通过将列表项分配到指定数量的行和列来获得矩阵。

>>> M=Matrix(2,3,[10,40,30,2,6,9]) 
>>> M
$\displaystyle \left[\begin{matrix}10 & 40 & 30\\2 & 6 & 9\end{matrix}\right]$

在 Python shell 中执行上述命令后，将生成以下输出：

[10 40 30 2 6 9]

矩阵是一个可变对象。matrices 模块还提供 ImmutableMatrix 类来获取不可变矩阵。

基本操作

Matrix 对象的shape属性返回其大小。

>>> M.shape

上述代码的输出如下：

(2,3)

row() 和 col() 方法分别返回指定编号的行或列。

>>> M.row(0)
$\displaystyle \left[\begin{matrix}10 & 40 & 30\end{matrix}\right]$

上述代码的输出如下：

[10 40 30]

>>> M.col(1)
$\displaystyle \left[\begin{matrix}40\\6\end{matrix}\right]$

上述代码的输出如下：

[40 6]

使用 Python 的切片运算符来获取属于行或列的一个或多个项目。

>>> M.row(1)[1:3]
[6, 9]

Matrix 类具有 row_del() 和 col_del() 方法，可以从给定矩阵中删除指定行/列：

>>> M=Matrix(2,3,[10,40,30,2,6,9]) 
>>> M.col_del(1) 
>>> M

在 Python shell 中执行上述命令后，将生成以下输出：

Matrix([[10, 30],[ 2, 9]])

您可以使用以下命令来应用输出样式：

$\displaystyle \left[\begin{matrix}10 & 30\\2 & 9\end{matrix}\right]$

执行上述代码片段后，您将得到以下输出：

[10 30 2 9]

>>> M.row_del(0) 
>>> M

$\displaystyle \left[\begin{matrix}2 & 9\end{matrix}\right]$

执行上述代码片段后，您将得到以下输出：

[2 9]

类似地，row_insert() 和 col_insert() 方法在指定的行或列索引处添加行或列。

>>> M1=Matrix([[10,30]]) 
>>> M=M.row_insert(0,M1)
>>> M

$\displaystyle \left[\begin{matrix}10 & 30\\2 & 9\end{matrix}\right]$

执行上述代码片段后，您将得到以下输出：

[10 40 30 2 9]

>>> M2=Matrix([40,6]) 
>>> M=M.col_insert(1,M2) 
>>> M

$\displaystyle \left[\begin{matrix}10 & 40 & 30\\2 & 6 & 9\end{matrix}\right]$

执行上述代码片段后，您将得到以下输出：

[10 40 30 6 9]

算术运算

通常的运算符 +、- 和 * 用于执行加法、减法和乘法。

>>> M1=Matrix([[1,2,3],[3,2,1]]) 
>>> M2=Matrix([[4,5,6],[6,5,4]]) 
>>> M1+M2

$\displaystyle \left[\begin{matrix}5 & 7 & 9\\9 & 7 & 5\end{matrix}\right]$

执行上述代码片段后，您将得到以下输出：

[5 7 9 9 7 5]

>>> M1-M2
$\displaystyle \left[\begin{matrix}-3 & -3 & -3\\-3 & -3 & -3\end{matrix}\right]$

执行上述代码片段后，您将得到以下输出：

[- 3 -3 -3 -3 -3 -3]

矩阵乘法只有在以下情况下才有可能：第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。结果将具有与第一个矩阵相同数量的行，以及与第二个矩阵相同数量的列。

>>> M1=Matrix([[1,2,3],[3,2,1]]) 
>>> M2=Matrix([[4,5],[6,6],[5,4]]) 
>>> M1*M2
$\displaystyle \left[\begin{matrix}31 & 29\\29 & 31\end{matrix}\right]$

上述代码的输出如下：

[31 29 29 31]

>>> M1.T
$\displaystyle \left[\begin{matrix}1 & 3\\2 & 2\\3 & 1\end{matrix}\right]$

执行代码后，将获得以下输出：

[1 3 2 2 3 1]

要计算矩阵的行列式，请使用 det() 方法。行列式是一个标量值，可以从方阵的元素计算得到。

>>> M=Matrix(3,3,[10,20,30,5,8,12,9,6,15])
>>> M
$\displaystyle \left[\begin{matrix}10 & 20 & 30\\5 & 8 & 12\\9 & 6 & 15\end{matrix}\right]$

上述代码的输出如下：

[10 20 30 5 8 12 9 6 15]

>>> M.det()

上述代码的输出如下：

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矩阵构造器

SymPy 提供许多特殊类型的矩阵类。例如，单位矩阵、全零矩阵和全一矩阵等。这些类分别命名为 eye、zeros 和 ones。单位矩阵是一个方阵，其对角线上的元素设置为 1，其余元素为 0。

示例

from sympy.matrices import eye eye(3)

输出

Matrix([[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]])

$\displaystyle \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{matrix}\right]$

上述代码的输出如下：

[1 0 0 0 1 0 0 0 1]

在 diag 矩阵中，对角线上的元素根据提供的参数进行初始化。

>>> from sympy.matrices import diag 
>>> diag(1,2,3)

$\displaystyle \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 3\end{matrix}\right]$

上述代码的输出如下：

[1 0 0 0 2 0 0 0 3]

zeros 矩阵中的所有元素都初始化为 0。

>>> from sympy.matrices import zeros 
>>> zeros(2,3)

$\displaystyle \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$

上述代码的输出如下：

[0 0 0 0 0 0]

同样，ones 矩阵的所有元素都设置为 1。

>>> from sympy.matrices import ones
>>> ones(2,3)

$\displaystyle \left[\begin{matrix}1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1\end{matrix}\right]$

上述代码的输出如下：

[1 1 1 1 1 1]