SymPy - 四元数

在数学中，四元数系统是复数的扩展。每个四元数对象包含四个标量变量和四个维度，一个实数维度和三个虚数维度。

四元数用以下表达式表示：

q=a+bi+cj+dk

其中a, b, c 和 d 是实数，而 i, j, k 是四元数单位，使得 i²=j²=k²=ijk=-1。

sympy.algebras.quaternion 模块包含 Quaternion 类。

>>> from sympy.algebras.quaternion import Quaternion 
>>> q=Quaternion(2,3,1,4) 
>>> q

上述代码片段给出的输出等效于以下表达式：

$2 + 3i + 1j + 4k$

四元数用于纯数学，以及应用数学、计算机图形学、计算机视觉等领域。

>>> from sympy import * 
>>> x=Symbol('x') 
>>> q1=Quaternion(x**2, x**3, x) >>> q1

上述代码片段给出的输出等效于以下表达式：

$x^2 + x^3i + xj + 0k$

四元数对象也可以有虚数系数

>>> q2=Quaternion(2,(3+2*I), x**2, 3.5*I) 
>>> q2

上述代码片段给出的输出等效于以下表达式：

$2 + (3 + 2i)i + x²j + 3.5ik$

add()

此方法在 Quaternion 类中可用，用于执行两个四元数对象的加法。

>>> q1=Quaternion(1,2,3,4) 
>>> q2=Quaternion(4,3,2,1) 
>>> q1.add(q2)

上述代码片段给出的输出等效于以下表达式：

$5 + 5i + 5j + 5k$

可以在四元数对象中添加数字或符号。

>>> q1+2

执行上述代码片段后，将获得以下输出：

$3 + 2i + 3j + 4k$

>>> q1+x

执行上述代码片段后，将获得以下输出：

$(x + 1) + 2i + 3j + 4k$

此方法执行两个四元数对象的乘法。

>>> q1=Quaternion(1,2,1,2) 
>>> q2=Quaternion(2,4,3,1) 
>>> q1.mul(q2)

上述代码片段给出的输出等效于以下表达式：

$(-11) + 3i + 11j + 7k$

此方法返回四元数对象的逆。

>>> q1.inverse()

上述代码片段给出的输出等效于以下表达式：

$\frac{1}{10} + (-\frac{1}{5})i + (-\frac{1}{10})j + (-\frac{1}{5})k$

此方法返回四元数对象的幂。

>>> q1.pow(2)

执行上述代码片段后，将获得以下输出：

$(-8) + 4i + 2j + 4k$

此方法计算四元数对象的指数，即 e^q

>>> q=Quaternion(1,2,4,3) 
>>> q.exp()

执行上述代码片段后，将获得以下输出：

$e\cos(\sqrt{29}) + \frac{2\sqrt{29}e\sin(\sqrt{29})}{29}i + \frac{4\sqrt{29}e\sin(\sqrt{29})}{29}j + \frac{3\sqrt{29}e\sin(\sqrt{29})}{29}k$

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