SymPy - 积分

SymPy 包包含 integrals 模块。它实现了计算表达式定积分和不定积分的方法。integrate() 方法用于计算定积分和不定积分。要计算不定积分或原函数，只需在表达式后传递变量。

例如 -

integrate(f, x)

要计算定积分，请按如下方式传递参数 -

(integration_variable, lower_limit, upper_limit)

>>> from sympy import * 
>>> x,y = symbols('x y') 
>>> expr=x**2 + x + 1 
>>> integrate(expr, x)

以上代码片段给出的输出等价于以下表达式 -

$\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x$

>>> expr=sin(x)*tan(x) 
>>> expr 
>>> integrate(expr,x)

以上代码片段给出的输出等价于以下表达式 -

$-\frac{\log(\sin(x) - 1)}{2} + \frac{\log(\sin(x) + 1)}{2} - \sin(x)$

定积分的示例如下 -

>>> expr=exp(-x**2) 
>>> integrate(expr,(x,0,oo) )

以上代码片段给出的输出等价于以下表达式 -

$\frac{\sqrt\pi}{2}$

您可以传递多个极限元组来执行多重积分。示例如下 -

>>> expr=exp(-x**2 - y**2)
>>> integrate(expr,(x,0,oo),(y,0,oo))

以上代码片段给出的输出等价于以下表达式 -

$\frac{\pi}{4}$

您可以使用 Integral 对象创建未计算的积分，可以通过调用 doit() 方法来计算它。

>>> expr = Integral(log(x)**2, x) 
>>> expr

以上代码片段给出的输出等价于以下表达式 -

$\int \mathrm\log(x)^2 \mathrm{d}x$

>>> expr.doit()

以上代码片段给出的输出等价于以下表达式 -

$x\log(x)^2 - 2xlog(x) + 2x$

积分变换

SymPy 支持以下各种类型的积分变换 -

这些函数在 sympy.integrals.transforms 模块中定义。以下示例分别计算傅里叶变换和拉普拉斯变换。

示例 1

>>> from sympy import fourier_transform, exp 
>>> from sympy.abc import x, k 
>>> expr=exp(-x**2) 
>>> fourier_transform(expr, x, k)

在 Python Shell 中执行上述命令后，将生成以下输出 -

sqrt(pi)*exp(-pi**2*k**2)

等价于 -

$\sqrt\pi * e^{\pi^2k^2}$

示例 2

>>> from sympy.integrals import laplace_transform 
>>> from sympy.abc import t, s, a 
>>> laplace_transform(t**a, t, s)

在 Python Shell 中执行上述命令后，将生成以下输出 -

(s**(-a)*gamma(a + 1)/s, 0, re(a) > -1)

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