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法学判断下列语句是真(T)还是假(F)
(i) 392是完全立方数。
(ii) 8640不是完全立方数。
(iii) 没有立方数以恰好两个零结尾。
(iv) 没有完全立方数以4结尾。
(v) 对于整数 $a$，$a^3$ 总是大于 $a^2$。
(vi)如果 \( a \) 和 \( b \) 是整数，且 \( a^{2}>b^{2} \)，则 \( a^{3}>b^{3} \)。
(vii) 如果 \( a \) 整除 \( b \)，则 \( a^{3} \) 整除 \( b^{3} \)。
(viii) 如果 \( a^{2} \) 以9结尾，则 \( a^{3} \) 以 \( 7 \) 结尾。
(ix) 如果 \( a^{2} \) 以5结尾，则 \( a^{3} \) 以25结尾。
(x) 如果 \( a^{2} \) 以偶数个零结尾，则 \( a^{3} \) 以奇数个零结尾。
求解：
我们需要检查给定语句是真还是假。
解答：
(i) 392的质因数分解为：
$392=2\times2\times2\times7\times7$
$=2^3\times7^2$
将因子分组为三个相等因子的组，我们看到剩下两个因子 $7 \times 7$。
因此，392不是完全立方数。
该语句为假。
(ii) 8640的质因数分解为：
$8640=2\times2\times2\times2\times2\times2\times3\times3\times3\times5$
$=2^3\times2^3\times3^3\times5$
将因子分组为三个相等因子的组，我们看到剩下5。
因此，8640不是完全立方数。
(iii) 对于每个结尾为零的数字，当立方后会在结尾处产生三个零。
该语句为真。
(iv) $4^3=4\times4\times4$ $=64$
因此，
该语句为假。
(v) 对于 $\frac{1}{2}$
$(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}$
$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$
$\frac{1}{8}<\frac{1}{4}$
如果 $n$ 是真分数，则该语句不成立。
因此，
该语句为假。
(vi) 例如，
$(-4)^2 = 16$ 和 $(-3)^2=9$
$16 > 9$
$(-4)^3 =-64$ 和 $(-3)^3 = -27$ $-64 < -27$
因此，
该语句为假。
(vii) 假设 $a$ 整除 $b$，这意味着：
$\frac{b}{a}= k$
$b=ak$
$\frac{b^3}{a^3} = \frac{(ak)^3}{a^3}$
$= \frac{a^3k^3}{a^3}$
$= k^3$
这对每个 $b$ 和 $a$ 的值都成立。
因此，
该语句为真。
(viii) 对于 $a = 7$，
$7^2 = 49$
$7^3 = 343$
因此，
该语句为假。
(ix) 对于 $a = 15$，
$(15)^2 = 225$
$(15)^3 = 3375$
因此，
该语句为假。
(x) 对于 $a = 100$，
$(100)^2 = 10000$
$(100)^3 = 1000000$
因此，
该语句为假。
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