判断下列语句是真(T)还是假(F)
(i) 392是完全立方数。
(ii) 8640不是完全立方数。
(iii) 没有立方数以恰好两个零结尾。
(iv) 没有完全立方数以4结尾。
(v) 对于整数 $a$，$a^3$ 总是大于 $a^2$。
(vi)如果 $a$ 和 $b$ 是整数，且 $a^{2}>b^{2}$，则 $a^{3}>b^{3}$。
(vii) 如果 $a$ 整除 $b$，则 $a^{3}$ 整除 $b^{3}$。
(viii) 如果 $a^{2}$ 以9结尾，则 $a^{3}$ 以 $7$ 结尾。
(ix) 如果 $a^{2}$ 以5结尾，则 $a^{3}$ 以25结尾。
(x) 如果 $a^{2}$ 以偶数个零结尾，则 $a^{3}$ 以奇数个零结尾。

求解：

我们需要检查给定语句是真还是假。

解答：

(i) 392的质因数分解为：

$392=2\times2\times2\times7\times7$

$=2^3\times7^2$

将因子分组为三个相等因子的组，我们看到剩下两个因子 $7 \times 7$。

因此，392不是完全立方数。

该语句为假。

(ii) 8640的质因数分解为：

$8640=2\times2\times2\times2\times2\times2\times3\times3\times3\times5$

$=2^3\times2^3\times3^3\times5$

将因子分组为三个相等因子的组，我们看到剩下5。

因此，8640不是完全立方数。

(iii) 对于每个结尾为零的数字，当立方后会在结尾处产生三个零。

该语句为真。

(iv) $4^3=4\times4\times4$ $=64$

因此，

该语句为假。

(v) 对于 $\frac{1}{2}$

$(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}$

$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$

$\frac{1}{8}<\frac{1}{4}$

如果 $n$ 是真分数，则该语句不成立。

因此，

该语句为假。

(vi) 例如，

$(-4)^2 = 16$ 和 $(-3)^2=9$

$16 > 9$

$(-4)^3 =-64$ 和 $(-3)^3 = -27$ $-64 < -27$

因此，

该语句为假。

(vii) 假设 $a$ 整除 $b$，这意味着：

$\frac{b}{a}= k$

$b=ak$

$\frac{b^3}{a^3} = \frac{(ak)^3}{a^3}$

$= \frac{a^3k^3}{a^3}$

$= k^3$

这对每个 $b$ 和 $a$ 的值都成立。

因此，

该语句为真。

(viii) 对于 $a = 7$，

$7^2 = 49$

$7^3 = 343$

因此，

该语句为假。

(ix) 对于 $a = 15$，

$(15)^2 = 225$

$(15)^3 = 3375$

因此，

该语句为假。

(x) 对于 $a = 100$，

$(100)^2 = 10000$

$(100)^3 = 1000000$

因此，

该语句为假。

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更新于： 2022年10月10日

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