相似三角形的面积

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介绍

相似三角形的面积定理有助于建立两个相似三角形面积之间的关系。形状和大小相同的几何图形称为全等图形。

例如：半径相同的任意两个圆是全等的。

长度和宽度相同的任意两个矩形是全等的。

但是，形状相同但大小不同的几何图形称为相似图形。全等图形总是相似的，但两个相似图形不一定是全等的。

例如：任意两个圆是相似的。任意两个矩形是相似的。

三角形的相似用符号“~”表示。

相似三角形

• 如果两个三角形的角相等（对应角），并且它们的边成比例（对应边），则这两个三角形是相似的。

• 相似三角形可能具有不同的边长，但它们的角必须相等，并且对应边的比例必须相等。

• 如果两个三角形相似，则意味着对应三角形的角对都相等。三角形的所有对应边都成比例。

• 用符号“~”表示相似。

• 因此，如果两个三角形相似，则表示为△QPR ~ △XYZ。

相似三角形区域集

• 相似三角形区域集有助于建立两个相似三角形区域之间的关系。

• 它指出：“两个相似三角形的面积之比等于任何一对对应边之比的平方”。

• 让我们看下图，它显示了两个相似三角形ΔABC和ΔDEF。

相似三角形的面积

根据相似三角形定理，

$$\mathrm{ΔABC面积/ΔDEF面积 = \frac{(AB)^2}{(DE)^2} =\frac{(BC)^2}{(EF)^2} =\frac{(AC)^2}{(DF)^2}}$$

相似三角形面积之比

结论 - 两个相似三角形的面积之比等于每一对对应边之比的平方。

已知 - 考虑两个三角形ΔABC和ΔDEF，使得ΔABC~ΔDEF

证明 - $\mathrm{ΔABC面积/ΔDEF面积 = \frac{(AB)^2}{(DE)^2} =\frac{(BC)^2}{(EF)^2} =\frac{(AC)^2}{(DF)^2}}$

作图：分别在边BC和EF上作高AP和DQ，如上图所示。

[ ∵ ΔABC ~ ΔDEF ] 且

$$\mathrm{\angle APB =\angle DQE.}$$

[ ∵ AP和DQ分别垂直于边BC和EF ⇒每个角都等于90°]

根据三角形的相似性，我们说ΔABP和ΔDEQ是等角的。

所以ΔABP ~ ΔDEQ

所以 $\mathrm{\frac{AP}{DQ} =\frac{AB}{DE}}$

此外

$$\mathrm{\frac{AP}{DQ} = \frac{BC}{EF}----- (1)...[∵ ΔABC\sim ΔDEF \Rightarrow \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF}]}$$

所以

Area(ΔABC)/Area(ΔDEF) $\mathrm{=\frac{[(\frac{1}{2}) × BC × AP]}{[(\frac{1}{2}) × EF × DQ]}}$

$$\mathrm{= (\frac{BC}{EF}) × (\frac{AP}{DQ})= (\frac{BC}{EF}) × (\frac{BC}{EF})....[From (1)]}$$

⇒ Area(ΔABC)/Area(ΔDEF) = $\mathrm{(\frac{BC}{EF})^2}$

同样地，

ΔABC面积/ΔDEF面积 =$\mathrm{=\frac{(AB)^2}{(DE)^2}=\frac{(BC)^2}{(EF)^2}=\frac{(AC)^2}{( DF)^2}}$

例题

1)有两个相似三角形，ΔABC，ΔDEF。它们的边之比分别为2:5。如果Ar(ΔABC)为28，则Ar(ΔDEF)是多少？

答案：我们知道，

ΔABC面积/ΔDEF面积 =$\mathrm{=\frac{(AB)^2}{(DE)^2}=\frac{(BC)^2}{(EF)^2}=\frac{(AC)^2}{( DF)^2}}$

因此，$\mathrm{\frac{28}{Ar(ΔDEF)} = (\frac{AB}{DE})^2 = (\frac{2}{5})^2}$,

$$\mathrm{\Rightarrow \frac{28}{Ar(ΔDEF)} = \frac{4}{25}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow Ar(ΔDEF) = 28×\frac{25}{4}=7×25=175\: 平方单位}$$

2)有两个相似三角形，ΔABC，ΔDEF。它们的边之比分别为2:3。如果Ar(ΔABC)为12，则Ar(ΔXYZ)是多少？

答案：我们知道，

ΔABC面积/ΔXYZ面积 =$\mathrm{=\frac{(AB)^2}{(XY)^2}=\frac{(BC)^2}{(YZ)^2}=\frac{(AC)^2}{(XZ)^2}}$

$$\mathrm{因此， \frac{12}{Ar(ΔXYZ)} = (\frac{AB}{XY})^2 = (\frac{2}{3})^2,}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \frac{12}{Ar(ΔDEF)} = \frac{4}{9}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow Ar(ΔXYZ) = 12×\frac{9}{4}=3×9=27\: 平方单位}$$

3)有两个相似三角形，ΔABC，ΔDEF。它们的面积分别为20, 50。如果AC为2，则DF是多少？

答案：我们知道，

ΔABC面积/ΔDEF面积 =$\mathrm{=\frac{(AB)^2}{(DE)^2}=\frac{(BC)^2}{(EF)^2}=\frac{(AC)^2}{( DF)^2}}$

$$\mathrm{因此，\frac{20}{50}=\frac{2}{DF}; DF=5}$$

所以，DF的长度是5个单位。

4)有两个相似三角形，ΔABC，ΔXYZ。它们的面积分别为30, 40。如果AC为3，则XZ是多少？

答案：我们知道，

ΔABC面积/ΔXYZ面积 =$\mathrm{=\frac{(AB)^2}{(XY)^2}=\frac{(BC)^2}{(YZ)^2}=\frac{(AC)^2}{(XZ)^2}}$

$$\mathrm{因此， \frac{30}{40}=\frac{3}{XZ}; XZ=4}$$

所以，XZ的长度是4个单位。

5)有两个相似三角形，ΔABC，ΔDEF。它们的边之比分别为1:2。如果Ar(ΔPQR)为10，则Ar(ΔXYZ)是多少？

答案：我们知道，

$$\mathrm{ΔPQR面积/ΔXYZ面积 = \frac{(PQ)^2}{(XY)^2}=\frac{(QR)^2}{(YZ)^2}=\frac{(PR)^2}{(XZ)^2}}$$

$$\mathrm{因此， \: \frac{10}{Ar(ΔXYZ)} = (\frac{PQ}{XY})^2 = (\frac{1}{2})^2,}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \frac{10}{Ar(ΔDEF)} =\frac{1}{4}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow Ar(ΔXYZ) = 10×\frac{4}{1}=10×4=40\: 平方单位}$$

6)有两个相似三角形，ΔABC，ΔDEF。它们的面积分别为100, 600。如果AC为10，则DF是多少？

答案：我们知道，

ΔABC面积/ΔDEF面积 =$\mathrm{=\frac{(AB)^2}{(DE)^2}=\frac{(BC)^2}{(EF)^2}=\frac{(AC)^2}{( DF)^2}}$

因此， $\mathrm{\frac{100}{600}=\frac{10}{DF}}$; DF=60

所以，DF的长度是60个单位。

7)有两个相似三角形，ΔPQR，ΔXYZ。它们的面积分别为80, 90。如果PR为8，则XZ是多少？

答案：我们知道，

$$\mathrm{ΔPQR面积/ΔXYZ面积 = \frac{(PQ)^2}{(XY)^2}=\frac{(QR)^2}{(YZ)^2}=\frac{(PR)^2}{(XZ)^2}}$$

因此， $\mathrm{\frac{80}{90}=\frac{8}{XZ}}$; XZ=9

所以，XZ的长度是9个单位。

8)有两个相似三角形，ΔPQR，ΔDEF。它们的面积分别为30, 50。如果PR为3，则DF是多少？

答案：我们知道，

$$\mathrm{ΔPQR面积/ΔDEF面积 = \frac{(PQ)^2}{(DE)^2}=\frac{(QR)^2}{(EF)^2}=\frac{(PR)^2}{(DF)^2}}$$

因此， $\mathrm{\frac{30}{50}=\frac{3}{DF}}$; DF=5

所以，DF的长度是5个单位。

结论

在本教程中，我们学习了相似三角形以及将两个相似三角形的面积比与它们对应边的比联系起来的定理。两个相似三角形的面积之比等于任何一对对应边之比的平方。对于相似三角形ΔABC和ΔDEF，ΔABC面积/ΔDEF面积 $\mathrm{=\frac{(AB)^2}{(DE)^2}=\frac{(BC)^2}{(EF)^2}=\frac{(AC)^2}{( DF)^2}}$ 相似三角形的相关角都相等，所有对应边都成比例。

常见问题

1. 用你自己的话简要解释一下什么是相似三角形。

形状相同但大小不同的几何图形称为相似图形。全等图形总是相似的，但两个相似图形不一定是全等的。例如，任意两个圆是相似的，但如果它们的半径不同，则它们不全等。

2. 简要解释一下相似三角形的符号是什么。

假设有两个三角形XYZ和GHI。然后我们可以用∆XYZ ~ ∆GHI来表示它们。

3. 我们能否认为相似三角形和全等三角形几乎相同？

全等图形总是相似的，但两个相似图形不一定是全等的。例如，任意两个圆是相似的，但如果它们的半径不同，则它们不全等。

4. 在相似三角形的情况下，可以应用哪些三个定理来证明它们是相似的？

在相似三角形的情况下，可以应用以下三个定理来证明它们是相似的：

• 角角 (AA)

• 边角边 (SAS)

• 边边边 (SSS)

5. 我们如何理解相似三角形的边之间的比例关系？

如果相似三角形的边分别为P、Q、R和p、q、r，则它们之间的比例关系为：

P : p = Q : q = R : r。