基本比例定理与相似三角形

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引言

基本比例定理是由著名的希腊数学家泰勒斯提出的，因此也称为泰勒斯定理。三角形是具有三条边和三个角的基本几何形状之一。在几何学中，你已经学习了三角形的不同性质和定理。在本教程中，我们将学习最重要的性质之一，即相似性和基本比例定理。如果两个三角形的角全等且对应边成比例，则称这两个三角形相似。“$\mathrm{\sim}$”符号用于表示相似三角形。判断三角形是否相似的方法有很多，它基于三角形相似性的性质。

三角形的相似性

如果两个几何图形具有相同的形状，但不一定具有相同的大小，则称它们相似。当相似图形放大或缩小时，可以互相重叠。当它们以不同的方向放置时，它们可以互相重叠。

如果两个三角形的角相等且对应边成比例，则称这两个三角形相似。“$\mathrm{\sim}$”符号用于表示相似三角形。

在上图中：

如果 $\mathrm{\angle A \cong \angle P}$

$\mathrm{\angle B \cong \angle Q}$

$\mathrm{\angle C \cong \angle R}$

并且 $\mathrm{\frac{AB}{PQ}=\frac{BC}{QR}=\frac{AC}{PR}}$

从上面可以看出，两个三角形的角相等，且边成比例。

因此，△ABC和△PQR是相似三角形。

数学上可以表示为：△ABC ∼ △PQR。

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相似三角形的一些性质

自反性

每个三角形都与自身相似。例如，△ABC ∼ △ABC

对称性

如果△ABC ∼ △PQR，则△PQR ∼ △ABC

传递性

如果△ABC ∼ △PQR且△PQR ∼ △XYZ，则△ABC ∼ △XYZ

相似判别准则

• 利用相似判别准则，我们可以证明三角形是否相似。

• 检验三角形相似性有三个准则，如下所示：

  • AAA 准则

  • SSS 准则

  • SAS 准则

AAA 准则

• 如果两个三角形的对应角相等，则它们的对应边成比例。

• 这个准则被称为两个相似三角形的AAA（角角角）准则。

在△ABC和△DEF中，对应关系为ABC ↔ PQR

$$\mathrm{\angle A \cong \angle D}$$

$$\mathrm{\angle B \cong \angle E}$$

$$\mathrm{\angle C \cong \angle F}$$

给定的三角形满足AAA准则。

因此，△ABC ∼ △DEF。

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个对应角全等，则这两个三角形相似。这被称为两个三角形相似的AA准则。

SSS 准则

• 在两个三角形中，如果一个三角形的边与另一个三角形的边成比例，则它们的对应角相等，这两个三角形相似。

• 这被称为相似三角形的SSS（边边边）准则。

在△LMN和△PQR中

$$\mathrm{\frac{LM}{PQ}=\frac{MN}{QR}=\frac{LN}{PR}}$$

给定的三角形满足SSS准则

因此，△LMN ∼ △PQR

SAS 准则

• 在两个三角形中，如果一个三角形的一个角等于另一个三角形的一个角，并且包含该角的边成比例，则这两个三角形相似。

• 这被称为相似三角形的SAS（边角边）准则。

在△UVW和△XYZ中

如果 $\mathrm{\angle V \cong \angle Y}$

并且 $\mathrm{\frac{UV}{XY}=\frac{VW}{YZ}}$

因此，上述三角形满足SAS准则，

因此△UVW ∼ △XYZ

如果已知每个三角形的一条边和一个角，则可以使用此准则。

基本比例定理 (BPT)

定理：如果一条平行于三角形一边的直线与其余两边相交于两个不同的点，则这条直线将其余两边按比例分割。

证明

已知：在△ABC中，直线DE∥直线BC

直线DE分别与直线AB和AC相交于点D和E。

证明：$\mathrm{\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}}$

作图：连接BE和CD，然后作DM⊥AC和EN⊥AB

证明：△ADE的面积 = $\mathrm{\frac{1}{2}×AD×EN}$

同样，△BDE的面积 = $\mathrm{\frac{1}{2}×DB×EN}$

△ADE的面积 = $\mathrm{\frac{1}{2}×AE×DM}$ 和 △BDE的面积 = $\mathrm{\frac{1}{2}×EC×DM}$

△ADE和△BDE有相同的高EN

因此，$\mathrm{\frac{△ADE的面积}{△BDE的面积}=\frac{AD}{DB} …………..(i)}$

同样，△ADE和△DEC有相同的高DM

因此，$\mathrm{\frac{△ADE的面积}{△DEC的面积}=\frac{AE}{EC} …………..(ii)}$

△BDE和△DEC有相同的底边DE，且直线BC∥直线DE。

因此，△BDE的面积 = △DEC的面积……(iii)

因此，由(i)、(ii)和(iii)可得：

$$\mathrm{\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}}$$

例题

1) 检查下列三角形是否相似？如果是，请解释使用哪种检验方法？

答：在△PQR和△XYZ中

$$\mathrm{\frac{PQ}{XY}=\frac{4}{2}=2 \: \& \: \frac{QR}{YZ}=\frac{8}{4}=2}$$

因此，$\mathrm{\frac{PQ}{XY}=\frac{QR}{YZ}}$

并且 $\mathrm{\angle M \cong \angle Y}$ ……(已知)

△PQR ∼ △XYZ ……(相似性的SAS准则)

2) 在给定图形中，AB∥EF，则证明△AOB ∼ △EOF。

答：AB∥EF ……(已知)

$\mathrm{\angle A =\angle F}$ ……(内错角)

$$\mathrm{\angle B =\angle F}$$

$\mathrm{\angle AOB =\angle EOF}$ ……(对顶角)

因此△AOB ∼ △EOF。

3) 1) 在△PQR中，直线AB∥QR

如果QA = 4.8厘米，PA = 1.6厘米，BR = 6.4厘米，则求PB。

答：在△PQR中，AB∥QR ……(已知)

根据基本比例定理，

$$\mathrm{\frac{PA}{AQ}=\frac{PB}{BR}}$$

$$\mathrm{\frac{1.6}{4.8}=\frac{PB}{6.4}}$$

$$\mathrm{PB=\frac{1.6\times 6.4}{4.8}}$$

$$\mathrm{PB = 2.1 厘米}$$

结论

三角形的相似性是三角形的重要性质之一。

如果两个三角形的角全等且对应边成比例，则称这两个三角形相似。基本比例定理是由希腊数学家泰勒斯提出的。它指出，如果一条直线平行于三角形的一边，则它与另外两边相交于两个不同的点，并将这两边按相同的比例分割。

常见问题

1. 什么是全等三角形？

如果任何两个三角形的两个对应角和边相等，则这两个三角形被称为全等三角形。

2. 指出总是相似的三角形的类型。

等边三角形和两个等腰直角三角形总是相似的。

3. 说明相似三角形面积定理。

它指出，当两个三角形相似时，这两个三角形的面积之比等于它们对应边平方之比。

4. 基本比例定理是否适用于斜三角形？

是的。基本比例定理适用于所有三角形。

5. 基本比例定理有哪些应用？

基本比例定理用于证明以下性质：

• 三角形角平分线的性质。

• 三条平行线及其截线的性质。