如果两个相似三角形的面积相等，证明它们全等。

已知

两个相似三角形的面积相等。

要求

我们必须证明它们全等。

解答

设 $\triangle \mathrm{ABC}  \sim \Delta \mathrm{DEF}$，且  $ar(\triangle \mathrm{ABC})=ar(\Delta \mathrm{DEF})$

$\frac{ar(\triangle \mathrm{ABC})}{ar(\triangle \mathrm{DEF)}}=\frac{\mathrm{AB}^{2}}{\mathrm{DE}^{2}}$

$=\frac{\mathrm{AC}^{2}}{\mathrm{DF}^{2}}$

$=\frac{\mathrm{BC}^{2}}{\mathrm{EF}^{2}}$

这意味着，

$\frac{\mathrm{AB}^{2}}{\mathrm{DE}^{2}}=\frac{\mathrm{AC}^{2}}{\mathrm{DF}^{2}}=\frac{\mathrm{BC}^{2}}{\mathrm{EF}^{2}}=1$

因此，

$\mathrm{AB}^2=\mathrm{DE}^{2}$

$\mathrm{AB}=\mathrm{DE}$

$\mathrm{AC}^2=\mathrm{DF}^{2}$

$\mathrm{AC}=\mathrm{DF}$

$\mathrm{BC}^{2}=\mathrm{EF}^{2}$

$\mathrm{BC}=\mathrm{EF}$

因此，根据 SSS 判定定理，

$\triangle \mathrm{ABC} \cong \Delta \mathrm{DEF}$

教程点

更新于: 2022年10月10日

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