证明两个相似三角形的面积之比等于它们对应中线之比的平方。

待办事项

我们必须证明两个相似三角形的面积之比等于它们对应中线之比的平方。

解答

设$\triangle ABC \sim \triangle DEF$。

$AP$和$DQ$是中线。

我们知道：

两个相似三角形的面积之比等于它们对应边长之比的平方。

这意味着：

$\frac{\operatorname{ar} \Delta \mathrm{ABC}}{\operatorname{ar} \Delta \mathrm{DEF}}=\frac{\mathrm{AB}^{2}}{\mathrm{DE}^{2}}$

$\Delta \mathrm{ABC} \sim \Delta \mathrm{DEF}$

这意味着：

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}$

$=\frac{2 \mathrm{BP}}{2 \mathrm{EQ}}$

$=\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{EQ}}$

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{EQ}}$..........(i)

$\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{E}$ (对应角)

因此，根据SAS相似性准则：

$\Delta \mathrm{ABP} \sim \Delta \mathrm{DEQ}$

这意味着：

$\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{EQ}}=\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{DQ}}$........(ii)

由(i)和(ii)可得：

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{DQ}}$

因此：

$\frac{\text { ar } \triangle \mathrm{ABC}}{\operatorname{ar} \Delta \mathrm{DEF}}=\frac{\mathrm{AP}^{2}}{\mathrm{DQ}^{2}}$

证毕。

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更新于：2022年10月10日

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