两个相似三角形的面积分别为 $81\ cm^2$ 和 $49\ cm^2$。求它们对应高的比值。它们对应中线的比值是多少？

已知

两个相似三角形的面积分别为 $81\ cm^2$ 和 $49\ cm^2$。

要求

我们必须找到它们对应高的比值和它们对应中线的比值。

 解

考虑两个相似三角形，$ΔABC$ 和 $ΔPQR$，$AD$ 和 $PS$ 分别是 $ΔABC$ 和 $ΔPQR$ 的高。

根据相似三角形面积定理，

$\frac{ar(ΔABC)}{ar(ΔPQR)} = \frac{AB^2}{PQ^2}$

$\frac{81}{49} = \frac{AB^2}{PQ^2}$

$ \begin{array}{l}
\frac{AB}{PQ} =\sqrt{\frac{81}{49}}\\
\\
\frac{AB}{PQ} =\frac{9}{7}
\end{array}$

在 $ΔABD$ 和 $ΔPQS$ 中，

$\angle B = \angle Q$ 

$\angle ABD = \angle PSQ = 90^o$

因此，

$ΔABD ∼ ΔPQS$  (根据角角相似)

$\frac{AB}{PQ} = \frac{AD}{PS}$   (相似三角形的对应边成比例)

$\frac{AD}{PS} = \frac{9}{7}$

类似地，

两个相似三角形的面积比等于它们对应中线的平方比。

因此，

高的比值 = 中线的比值 = $\frac{9}{7}$。

教程点

更新于: 2022年10月10日

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