在两个等腰三角形中，底角相等，面积之比为$36: 25$。求这两个三角形对应高线的比值。

已知

在两个等腰三角形中，底角相等，面积之比为$36: 25$。

要求

我们需要求出它们对应高线的比值。

解

设这两个三角形如下图所示

$AB=AC$, $PQ=PR$ 且 $\angle A=\angle P$

$AD$ 和 $PS$ 为高线。

$\frac{ar(\triangle ABC)}{ar(\triangle PQR)}=\frac{36}{25}$....(i)

在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle PQR$ 中，

$\angle A=\angle P$

$\frac{AB}{PQ}=\frac{AC}{PR}$     (因为 $\frac{AB}{AC}=\frac{PQ}{PR}$)

因此，

$\triangle ABC \sim\ \triangle PQR$    (根据 SAS 相似性)

我们知道，

如果两个三角形相似，则这两个三角形的面积之比等于它们对应边长的平方之比。

$\frac{ar(\triangle ABC)}{ar(\triangle PQR)}=\frac{AB^2}{PQ^2}$

这意味着，

$\frac{AB^2}{PQ^2}=\frac{36}{25}$

$\frac{AB}{PQ}=\sqrt{\frac{36}{25}}$

$\frac{AB}{PQ}=\frac{6}{5}$

在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle PQS$ 中，

$\angle B=\angle Q$     (因为 $\triangle ABC \sim\ \triangle PQR$)

$\angle ADB=\angle PSQ=90^o$

因此，

$\triangle ADB \sim\ \triangle PSQ$    (根据 AA 相似性)

这意味着，

$\frac{AB}{PQ}=\frac{AD}{PS}$

$\frac{AD}{PS}=\frac{6}{5}$

它们对应高线的比值为 $6:5$。 

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更新于: 2022年10月10日

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