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法律研究在两个等腰三角形中，底角相等，面积之比为\( 36: 25 \)。求这两个三角形对应高线的比值。
已知
在两个等腰三角形中，底角相等，面积之比为\( 36: 25 \)。
要求
我们需要求出它们对应高线的比值。
解
设这两个三角形如下图所示
$AB=AC$, $PQ=PR$ 且 $\angle A=\angle P$
$AD$ 和 $PS$ 为高线。
$\frac{ar(\triangle ABC)}{ar(\triangle PQR)}=\frac{36}{25}$....(i)
在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle PQR$ 中，
$\angle A=\angle P$
$\frac{AB}{PQ}=\frac{AC}{PR}$ (因为 $\frac{AB}{AC}=\frac{PQ}{PR}$)
因此，
$\triangle ABC \sim\ \triangle PQR$ (根据 SAS 相似性)
我们知道，
如果两个三角形相似，则这两个三角形的面积之比等于它们对应边长的平方之比。
$\frac{ar(\triangle ABC)}{ar(\triangle PQR)}=\frac{AB^2}{PQ^2}$
这意味着，
$\frac{AB^2}{PQ^2}=\frac{36}{25}$
$\frac{AB}{PQ}=\sqrt{\frac{36}{25}}$
$\frac{AB}{PQ}=\frac{6}{5}$
在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle PQS$ 中，
$\angle B=\angle Q$ (因为 $\triangle ABC \sim\ \triangle PQR$)
$\angle ADB=\angle PSQ=90^o$
因此，
$\triangle ADB \sim\ \triangle PSQ$ (根据 AA 相似性)
这意味着，
$\frac{AB}{PQ}=\frac{AD}{PS}$
$\frac{AD}{PS}=\frac{6}{5}$
它们对应高线的比值为 $6:5$。
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