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题解：我们需要求解给定多项式的 \( p(0), p(1) \) 和 \( p(2) \)。解：为了求多项式 $f(x)$ 在 $x=a$ 处的取值，我们需要将 $x=a$ 代入 $f(x)$。因此，(i) \( p(y)=y^{2}-y+1 \)……阅读更多
题解：我们需要验证给定值是否为给定多项式的零点。解：多项式的零点定义为使多项式取值为零的任何实数 x。因此，(i) \( p(x)=3 x+1, x=-\frac{1}{3} \)……阅读更多
题解：我们需要找到给定多项式的零点。解：多项式的零点定义为使多项式取值为零的任何实数 x。因此，(i) 多项式 $p(x) = x+5$ 的零点为，$x+5 = 0$……阅读更多
题解：我们需要求出 $x^3+ 3x^2 + 3x + 1$ 除以 (i) \( x+1 \)(ii) \( x-\frac{1}{2} \)(iii) \( x \)(iv) \( x+\pi \)(v) \( 5+2 x \) 的余数。解：余数定理指出，当多项式 $p(x)$ 除以线性多项式 $x - a$ 时，该除法的余数将等于 $p(a)$。令 $f(x) =x^{3}+3 x^{2}+3 x+1$。因此，(i) 令 $p(x) = x +1$……阅读更多
题解：我们需要求出 \( x^{3}-a x^{2}+6 x-a \) 除以 \( x-a \) 的余数。解：余数定理指出，当多项式 $p(x)$ 除以线性多项式 $x - a$ 时，该除法的余数将等于 $p(a)$。令 $f(x) =x^{3}-a x^{2}+6 x-a$ 和 $p(x) = x -a$。这意味着余数将为 $f(a)$。$f(a) =(a)^{3}-a (a)^{2}+6 (a)-a$……
题解：我们需要在每种给定情况下确定多项式 $g(x)$ 是否为多项式 $p(x)$ 的因式。解：我们知道，如果 $g(x)$ 是 $p(x)$ 的因式，则余数将为零。(i) \( p(x)=2 x^{3}+x^{2}-2 x-1, g(x)=x+1=x-(-1) \)……阅读更多
题解：我们需要在每种给定情况下找到 \( k \) 的值，如果 \( x-1 \) 是 \( p(x) \) 的因式。解：因式定理：因式定理指出，如果 $p(x)$ 是一个次数大于等于 1 的多项式，$a$ 是任何实数，那么如果 $p(a)=0$，则 $x-a$ 是 $p(x)$ 的一个因式。因此，(i) \( p(x)=x^{2}+x+k \)……阅读更多
待办事项：我们需要对给定的表达式进行因式分解。解：我们可以使用拆分中间项的方法找到给定表达式的因式分解。(i) \( 12 x^{2}-7 x+1 \)我们需要找到两个数，它们的和为 -7，积为 \(1\times12 = 12\)这里，\((-3)+(-4)=-7\) 和 \((-3)\times(-4)=12\)因此，我们得到 -3 和 -4 作为这两个数。\(12x^2-7x+1=12x^2-4x-3x+1\)\(=4x(3x-1)-1(3x-1)\)\(=(3x-1)(4x-1)\)因此，\(12x^2-7x+1\) 的因子是 \((3x-1)\) 和 \((4x-1)\)。(ii) \( 2 x^{2}+7 x+3 \)我们需要找到两个数，它们的和为 7，积为 \(2\times3 = 6\)这里，\(6+1=7\) 和 \(6\times1=6\)因此，我们得到 6 和 1 作为这两个数。\(2x^2+7x+3=2x^2+6x+x+3\)\(=2x(x+3)+1(x+3)\)\(=(x+3)(2x+1)\)因此，\(2x^2+7x+3\) 的因子是 \((x+3)\) ... 阅读更多
待办事项：我们需要对给定的表达式进行因式分解。解：(i) \( x^{3}-2 x^{2}-x+2 \)令 \(f(x)=x^{3}-2 x^{2}-x+2\)2 的因子是 ±1 和 ±2。 [ \(x^3\) 系数和常数项的乘积 \(=1\times2=2\)]通过试错法，我们得到，\(f(1)=(1)^{3}-2 (1)^{2}-(1)+2\)\(=1-2(1)-1+2\)\(=3-3\)\(=0\)这意味着，\(x-1\) 是 \(f(x)\) 的一个因子。因此，\(f(x)=x^3-2x^2-x+2\)\(= x^3 - x^2 - x^2 + x - 2x + 2\)\(= x^2 (x - 1) - x (x - 1)-2 (x - 1)\)\(= (x - 1)(x^2 - x - 2)\)\(= (x - 1)(x^2 - 2x+x-2)\)\(= (x - 1) [x (x - 2) + 1 (x - 2)]\)\(= (x - 1) (x - ... 阅读更多
待办事项：我们需要使用合适的恒等式来求解给定的乘积。解：我们知道，\((p + a)(p+b) = p( p+ b) + a(p+b)\)\(=p^2+pb+ap+ab\)\(=p^2+p(a+b)+ab\)因此，(i) \( (x+4)(x+10) \)这里，\(p=x, a=4\) 和 \(b=10\)这意味着，\((x+4)(x+10) = x^2+x(4+10)+4\times10\)\(=x^2+14x+40\)因此，\((x+4)(x+10)=x^2+14x+40\)。(ii) \( (x+8)(x-10) \)这里，\(p=x, a=8\) 和 \(b=-10\)这意味着，\((x+8)(x-10) = x^2+x(8-10)+8\times(-10)\)\(=x^2-2x-80\)因此，\((x+8)(x-10)=x^2-2x-80\)。(iii) \( (3 x+4)(3 x-5) \)这里，\(p=3x, a=4\) 和 \(b=-5\)这意味着，\((3x+4)(3x-5) = (3x)^2+3x(4-5)+4\times(-5)\)\(=9x^2+3x(-1)-20\)\(=9x^2-3x-20\)因此，\((3x+4)(3x-5)=9x^2-3x-20\)。(iv) \( \left(y^{2}+\frac{3}{2}\right)\left(y^{2}-\frac{3}{2}\right) \)这里，\(p=y^2, a=\frac{3}{2}\) 和 \(b=-\frac{3}{2}\)这意味着，\((y^2+\frac{3}{2})(y^2-\frac{3}{2}) = (y^2)^2+y^2(\frac{3}{2}-\frac{3}{2})+\frac{3}{2}\times(-\frac{3}{2})\)\(=y^4+y^2(0)-(\frac{3}{2})^2\)\(=y^4-0-\frac{9}{4}\)\(=y^4-\frac{9}{4}\)因此，\((y^2+\frac{3}{2})(y^2-\frac{3}{2})=y^4-\frac{9}{4}\)。(v) \( (3-2 x)(3+2 x) \)这里，\(p=3, a=-2x\) 和 \(b=2x\)这意味着，\((3-2x)(3+2x) = 3^2+3(-2x+2x)+(-2x)\times(2x)\)\(=9+3(0)-4x^2\)\(=-4x^2+9\)因此，\((3-2x)(3+2x)=-4x^2+9\)。阅读更多