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已知：已知等差数列为 $\square, 13, \square, 3$ 求解：我们需要找到方框中的缺失项。解：$a=13$ 我们知道，$a_{2}=a+(2-1) d$ $a+d=13$......(i) $a_{4}=3$ $a_{4}=a+(4-1) d$ $a+3 d=3$.........(ii) 从 (ii) 中减去 (i)，我们得到， $a+3d-a-d=3-13$ $2d=-10$ $d=\frac{-10}{2}$ $d=-5$ 这意味着，$a+d =13$ $a+(-5)=13$ $a=13+5$ $a=18$ $a_{3}=a+2 d$ $=18+2(-5)$ $=18-10$ $=8$
已知：已知等差数列为 $5, \square, \square, 9\frac{1}{2}$ 求解：我们需要找到方框中的缺失项。解：$a=5$ $a_4=9\frac{1}{2}$ 我们知道，$a_{4}=a+(4-1) d$ $5+3 d=\frac{19}{2}$ $3d=\frac{19}{2}-5$ $3d=\frac{19-10}{2}$ $3d=\frac{9}{2}$ $d=\frac{9}{2(3)}$ $d=\frac{3}{2}$ 这意味着，$a_{2}=a+(2-1) d$ $=a+d$ $=5+\frac{3}{2}$ $=\frac{13}{2}$ $a_{3}=a_{2}+d$ $=\frac{13}{2}+\frac{3}{2}$ $=\frac{16}{2}$ $=8$
已知：已知等差数列为 $-4, \square, \square, \square, \square, 6$ 求解：我们需要找到方框中的缺失项。解： $a=-4, a_{6}=6$ 我们知道，$a_{n}=a+(n-1) d$ $a_{2}=a+d$ $=-4+2$ $=-2$ $a_{3}=a_{2}+d$ $=-2+2$ $=0$ $a_{4}=a_{3}+d$ $=0+2$ $=2$ $a_{5}=a_{4}+d$ $=2+2$ $=4$
已知：已知等差数列为 $\square, 38, \square, \square, \square, -22$ 求解：我们需要找到方框中的缺失项。解： $a_{2}=38, a_{6}=-22$ 我们知道，$a_{n}=a+(n-1) d$ $a_{2}=a+d$ $a+d=38$......(i) $a_{6}=a+5 d$ $=-22$......(ii) 从 (ii) 中减去 (i)，我们得到， $a+5 d-a-d=-22-38$ $4d=-60$ $d=\frac{-60}{4}$ $d=-15$ 这意味着，$a+d=38$ $a=38-(-15)$ $a=38+15$ $a=53$ $a_3=a_2+d$ $=38+(-15)$ $=38-15$ $=23$ $a_4=a_3+d$ $=23+(-15)$ $=23-15$ $=8$ $a_5=a_4+d$ $=8+(-15)$ $=8-15$ $=-7$
已知：已知等差数列为 $3, 8, 13, 18 ……$ 求解：我们需要找到 78 是给定等差数列中的哪一项。解：设 78 是给定等差数列的第 n 项。这里，$a_1=3, a_2=8, a_3=13$ 公差 $d=a_2-a_1=8-3=5$ 我们知道，第 n 项 $a_n=a+(n-1)d$ 因此，$a_{n}=3+(n-1)(5)$ $78=3+n(5)-1(5)$ $78-3=5n-5$ $75+5=5n$ $5n=80$ $n=\frac{80}{5}$ $n=16$ 因此，78 是给定等差数列的第 16 项。
求解：我们需要找出每个给定等差数列中的项数。解：(i) 给定等差数列为 $7, 13, 19, …, 205$。这里，$a_1=7, a_2=13, a_3=19$ 公差 $d=a_2-a_1=13-7=6$ 设 205 为第 n 项。我们知道，第 n 项 $a_n=a+(n-1)d$ 因此，$a_{n}=7+(n-1)(6)$ $205=7+n(6)-1(6)$ $205-7=6n-6$ $198+6=6n$ $6n=204$ $n=\frac{204}{6}$ $n=34$ 因此，给定等差数列中有 34 项。 (ii) 给定等差数列为 $18, 15\frac{1}{2}, 13, …, -47$。这里，$a_1=18, a_2=15\frac{1}{2}, a_3=13$ 公差 $d=a_2-a_1=15\frac{1}{2}-18=\frac{15\times2+1}{2}-18=\frac{31-2\times18}{2}=\frac{31-36}{2}=\frac{-5}{2}$ 设 -47 为第 n 项。我们知道，第 n 项 $a_n=a+(n-1)d$ 因此，$a_{n}=18+(n-1)(\frac{-5}{2})$ $-47=18+\frac{-5(n-1)}{2}$ $-47-18=\frac{-5n+5}{2}$ $-65=\frac{-5n+5}{2}$ $2(-65)=-5n+5$ (交叉相乘) $5n=130+5$ $5n=135$ $n=\frac{135}{5}$ $n=27$ 因此，给定等差数列中有 27 项。 阅读更多
已知：给定等差数列为 $18, 15\frac{1}{2}, 13, …, -47$。求解：我们需要找出给定等差数列中的项数。解：这里，$a_1=18, a_2=15\frac{1}{2}, a_3=13$ 公差 $d=a_2-a_1=15\frac{1}{2}-18=\frac{15\times2+1}{2}-18=\frac{31-2\times18}{2}=\frac{31-36}{2}=\frac{-5}{2}$ 设 -47 为第 n 项。我们知道，第 n 项 $a_n=a+(n-1)d$ 因此，$a_{n}=18+(n-1)(\frac{-5}{2})$ $-47=18+\frac{-5(n-1)}{2}$ $-47-18=\frac{-5n+5}{2}$ $-65=\frac{-5n+5}{2}$ $2(-65)=-5n+5$ (交叉相乘) $5n=130+5$ $5n=135$ $n=\frac{135}{5}$ $n=27$ 因此，给定等差数列中有 27 项。 阅读更多
已知：给定等差数列为 $11, 8, 5, 2, …..$ 求解：我们需要检查 -150 是否是给定等差数列的一项。解：这里，$a_1=11, a_2=8, a_3=5, a_4=2$ 公差 $d=a_2-a_1=8-11=-3$ 如果 -150 是给定等差数列的一项，则 $a_n=-150$，其中 n 是自然数。我们知道，第 n 项 $a_n=a+(n-1)d$ 因此，$a_{n}=11+(n-1)(-3)$ $-150=11+n(-3)-1(-3)$ $-150-11=-3n+3$ $161+3=3n$ $3n=164$ $n=\frac{164}{3}$ $\Rightarrow n=54\frac{2}{3}$，这不是自然数。因此，-150 不是给定等差数列的一项。 阅读更多
已知：等差数列的第 11 项为 38，第 16 项为 73。求解：我们需要找到这个等差数列的第 31 项。解：设等差数列的首项为 $a$，公差为 $d$。我们知道，等差数列的第 n 项 $a_n=a+(n-1)d$ 因此，$a_{11}=a+(11-1)d=38$ $a+10d=38$.......(i) $a_{16}=a+(16-1)d=73$ $a+15d=73$.......(ii) 从 (ii) 中减去 (i)，我们得到， $a+15d-a-10d=73-38$ $5d=35$ $d=\frac{35}{5}$ $d=7$ 这意味着，$a+10d=38$ $a+10(7)=38$ $a=38-70$ $a=-32$ 因此，$a_{31}=a+(31-1)d$ $=a+30d$ $=-32+30(7)$ $=210-32$ $=178$ 等差数列的第 31 项是 178。 阅读更多
已知：一个等差数列包含 50 项。第 3 项和最后一项分别是 12 和 106。 求解：我们需要找到第 29 项。解：设 $a$ 为首项，$d$ 为公差。项数 $n=50$ 第 3 项 $a_3=a+2d=12$........(i) 最后一项 $a_n=a+(n-1)d$ 因此，$a_{50}=a+(50-1)d=106$ $106=a+49d$.....(ii) 从 (ii) 中减去 (i)，我们得到， $a+49d-a-2d=106-12$ $47d=94$ $d=\frac{94}{47}$ $d=2$ 这意味着，$a+2(2)=12$ $a=12-4=8$ 第 29 项 $a_{29}=a+(29-1)d$ $=8+28(2)$ $=8+56$ $=64$ 第 29 项是 64。