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已知：\( \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=a-b \sqrt{3} \) 求解：我们需要确定有理数 $a$ 和 $b$。解：我们知道，分母为 ${\sqrt{a}}$ 的分数的有理化因数是 ${\sqrt{a}}$。分母为 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因数是 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。分母为 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因数是 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。左边 $=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=\frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}$$=\frac{(\sqrt{3}-1)^{2}}{(\sqrt{3})^{2}-(1)^{2}}$$=\frac{3+1-2 \sqrt{3}}{3-1}$$=\frac{4-2 \sqrt{3}}{2}$$=2-\sqrt{3}$因此，$a-b \sqrt{3}=2-\sqrt{3}$ 比较两边，我们得到，$a=2$ 和 $b=1$ 因此，$a=2$ 和 $b=1$。阅读更多
已知：\( \frac{4+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=a-\sqrt{b} \) 求解：我们需要确定有理数 $a$ 和 $b$。解：我们知道，分母为 ${\sqrt{a}}$ 的分数的有理化因数是 ${\sqrt{a}}$。分母为 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因数是 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。分母为 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因数是 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。左边 $=\frac{4+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\frac{(4+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}$$=\frac{8-4 \sqrt{2}+2 \sqrt{2}-2}{(2)^{2}-(\sqrt{2})^{2}}$$=\frac{6-2 \sqrt{2}}{4-2}$$=\frac{6-2 \sqrt{2}}{2}$$=3-\sqrt{2}$因此，$a-\sqrt{b}=3-\sqrt{2}$ 比较两边，我们得到，$a=3$ 和 $b=2$ 因此，$a=3$ 和 $b=2$。 阅读更多
已知：\( \frac{3+\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}=a+b \sqrt{2} \) 求解：我们需要确定有理数 $a$ 和 $b$。解：我们知道，分母为 ${\sqrt{a}}$ 的分数的有理化因数是 ${\sqrt{a}}$。分母为 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因数是 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。分母为 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因数是 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。左边 $=\frac{3+\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}=\frac{(3+\sqrt{2})(3+\sqrt{2})}{(3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})}$$=\frac{(3+\sqrt{2})^{2}}{(3)^{2}-(\sqrt{2})^{2}}$$=\frac{9+2+2 \times 3 \sqrt{2}}{9-2}$$=\frac{11+6 \sqrt{2}}{7}$$=\frac{11}{7}+\frac{6}{7} \sqrt{2}$因此，$a+b \sqrt{2}=\frac{11}{7}+\frac{6}{7} \sqrt{2}$ 比较两边，我们得到，$a=\frac{11}{7}$ 和 $b=\frac{6}{7}$ 因此，$a=\frac{11}{7}$ 和 $b=\frac{6}{7}$。阅读更多
已知：\( \frac{5+3 \sqrt{3}}{7+4 \sqrt{3}}=a+b \sqrt{3} \) 求解：我们需要确定有理数 $a$ 和 $b$。解：我们知道，分母为 ${\sqrt{a}}$ 的分数的有理化因数是 ${\sqrt{a}}$。分母为 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因数是 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。分母为 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因数是 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。左边 $=\frac{5+3 \sqrt{3}}{7+4 \sqrt{3}}=\frac{(5+3 \sqrt{3})(7-4 \sqrt{3})}{(7+4 \sqrt{3})(7-4 \sqrt{3})}$$=\frac{35-20 \sqrt{3}+21 \sqrt{3}-12 \times 3}{(7)^{2}-(4 \sqrt{3})^{2}}$$=\frac{35+\sqrt{3}-36}{49-48}$$=\frac{\sqrt{3}-1}{1}$$=-1+\sqrt{3}$因此，$a+b \sqrt{3}=-1+\sqrt{3}$ 比较两边，我们得到，$a=-1$ 和 $b=1$ 因此，$a=-1$ 和 $b=1$。 阅读更多
已知：\( \frac{\sqrt{11}-\sqrt{7}}{\sqrt{11}+\sqrt{7}}=a-b \sqrt{77} \) 求解：我们需要确定有理数 $a$ 和 $b$。解：我们知道，分母为 ${\sqrt{a}}$ 的分数的有理化因数是 ${\sqrt{a}}$。分母为 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因数是 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。分母为 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因数是 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。左边 $=\frac{\sqrt{11}-\sqrt{7}}{\sqrt{11}+\sqrt{7}}=\frac{(\sqrt{11}-\sqrt{7})(\sqrt{11}-\sqrt{7})}{(\sqrt{11}+\sqrt{7})(\sqrt{11}-\sqrt{7})}$$=\frac{(\sqrt{11}-\sqrt{7})^{2}}{(\sqrt{11})^{2}-(\sqrt{7})^{2}}$$=\frac{11+7-2 \times \sqrt{11} \times \sqrt{7}}{11-7}$$=\frac{18-2 \sqrt{77}}{4}$$=\frac{9-\sqrt{77}}{2}$$=\frac{9}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{77}$因此，$a-b \sqrt{77}=\frac{9}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{77}$ 比较两边，我们得到，$a=\frac{9}{2}$ 和 $b=\frac{1}{2}$ 因此，$a=\frac{9}{2}$ 和 $b=\frac{1}{2}$。 阅读更多
已知：\( \frac{4+3 \sqrt{5}}{4-3 \sqrt{5}}=a+b \sqrt{5} \) 求解：我们需要确定有理数 $a$ 和 $b$。解：我们知道，分母为 ${\sqrt{a}}$ 的分数的有理化因数是 ${\sqrt{a}}$。分母为 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因数是 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。分母为 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因数是 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。左边 $=\frac{4+3 \sqrt{5}}{4-3 \sqrt{5}}=\frac{(4+3 \sqrt{5})(4+3 \sqrt{5})}{(4-3 \sqrt{5})(4+3 \sqrt{5})}$$=\frac{(4+3 \sqrt{5})^{2}}{(4)^{2}-(3 \sqrt{5})^{2}}$$=\frac{16+45+24 \sqrt{5}}{16-45}$$=\frac{61+24 \sqrt{5}}{-29}$$=\frac{-61}{29}-\frac{24}{29}\sqrt{5}$因此，$a+b \sqrt{5}=\frac{-61}{29}-\frac{24}{29}\sqrt{5}$ 比较两边，我们得到，$a=\frac{-61}{29}$ 和 $b=\frac{-24}{29}$ 因此，$a=\frac{-61}{29}$ 和 $b=\frac{-24}{29}$。 阅读更多
已知：\( \sqrt{3}=1.732 \) 和 \( \sqrt{5}=2.236 \)。求解：我们需要求 \( \frac{6}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \) 的值。解：我们知道，分母为 ${\sqrt{a}}$ 的分数的有理化因数是 ${\sqrt{a}}$。分母为 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因数是 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。分母为 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因数是 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。因此，$\frac{6}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{6(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}$$=\frac{6(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}$$=\frac{6(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3}$$=\frac{6(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2}$$=3(\sqrt{5}+\sqrt{3})$$=3[2.236+1.732]$$=3(3.968)$$=11.904$\( \frac{6}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \) 的值为 $11.904$。阅读更多
已知：$\sqrt2= 1.4142, \sqrt3= 1.732, \sqrt5 = 2.2360, \sqrt6= 2.4495$ 和 $\sqrt{10}= 3.162$。求解：我们需要求 \( \frac{3-\sqrt{5}}{3+2 \sqrt{5}} \) 的值，精确到小数点后三位。解：我们知道，分母为 ${\sqrt{a}}$ 的分数的有理化因数是 ${\sqrt{a}}$。分母为 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因数是 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。分母为 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因数是 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。因此，$\frac{3-\sqrt{5}}{3+2 \sqrt{5}}=\frac{(3-\sqrt{5})(3-2 \sqrt{5})}{(3+2 \sqrt{5})(3-2 \sqrt{5})}$$=\frac{9-6 \sqrt{5}-3 \sqrt{5}+2 \times 5}{(3)^{2}-(2 \sqrt{5})^{2}}$$=\frac{9+10-9 \sqrt{5}}{9-20}$$=\frac{19-9 \sqrt{5}}{-11}$$=\frac{19-9 \times 2.2360}{-11}$$=\frac{19-20.124}{-11}$$=\frac{-1.124}{-11}$$=0.102$\( \frac{3-\sqrt{5}}{3+2 \sqrt{5}} \) 的值为 $0.102$。 阅读更多
已知：\( \frac{3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}}+\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \) 求解：化简给定表达式。解：我们知道，分母为${\sqrt{a}}$的分式的有理化因子是${\sqrt{a}}$。分母为${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$的分式的有理化因子是${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。分母为${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$的分式的有理化因子是${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。因此，$\frac{3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}}=\frac{(3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3})(3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3})}{(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})(3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3})}$$=\frac{(3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3})^{2}}{(3 \sqrt{2})^{2}-(2 \sqrt{3})^{2}}$$=\frac{9 \times 2+4 \times 3-2 \times 3 \sqrt{2} \times 2 \sqrt{3}}{9 \times 2-4 \times 3}$$=\frac{18+12-12 \sqrt{6}}{18-12}$$=\frac{30-12 \sqrt{6}}{6}$$=5-2 \sqrt{6}$$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{4 \times 3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}$$=\frac{2 \sqrt{3}(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}$$=\frac{2 \times 3+2 \sqrt{6}}{3-2}$$=\frac{6+2 \sqrt{6}}{1}$$=6+2 \sqrt{6}$因此，$\frac{3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}}+\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=5-2 \sqrt{6}+6+2 \sqrt{6}$$=11$因此，$\frac{3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}}+\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=11$。阅读更多
已知：\( \frac{7+3 \sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}-\frac{7-3 \sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} \) 求解：化简给定表达式。解：我们知道，分母为${\sqrt{a}}$的分式的有理化因子是${\sqrt{a}}$。分母为${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$的分式的有理化因子是${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。分母为${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$的分式的有理化因子是${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。因此，$\frac{7+3 \sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}-\frac{7-3 \sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}=\frac{(7+3 \sqrt{5})(3-\sqrt{5})-(7-3 \sqrt{5})(3+\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}$$=\frac{(21-7 \sqrt{5}+9 \sqrt{5}-3 \sqrt{5} \times \sqrt{5})-(21+7 \sqrt{5}-9 \sqrt{5}-3 \sqrt{5} \times \sqrt{5})}{(3)^{2}-(\sqrt{5})^{2}}$$=\frac{(21+2 \sqrt{5}-15)-(21-2 \sqrt{5}-15)}{9-5}$$=\frac{(6+2 \sqrt{5})-(6-2 \sqrt{5})}{4}$$=\frac{6+2 \sqrt{5}-6+2 \sqrt{5}}{4}$$=\frac{4 \sqrt{5}}{4}$$=\sqrt{5}$因此，$\frac{7+3 \sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}-\frac{7-3 \sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}=\sqrt5$。阅读更多