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已知：\( \frac{4 a b^{2}\left(-5 a b^{3}\right)}{10 a^{2} b^{2}} \) 要求：化简给定表达式。解答：我们知道，$(a^{m})^{n}=a^{m n}$，$a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$，$a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}$，$a^{0}=1$。因此，$\frac{4 a b^{2}(-5 a b^{3})}{10 a^{2} b^{2}}=\frac{4 \times(-5)}{10} \times a^{(1+1-2)} b^{(2+3-2)}$$=-2 \times a^{0} b^{3}$$=-2 \times 1 \times b^{3}$$=-2 b^{3}$ 因此， $\frac{4 a b^{2}(-5 a b^{3})}{10 a^{2} b^{2}}=-2 b^{3}$。
已知：\( \left(\frac{x^{2} y^{2}}{a^{2} b^{3}}\right)^{n} \) 要求：化简给定表达式。解答：我们知道，$(a^{m})^{n}=a^{m n}$，$a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$，$a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}$，$a^{0}=1$。因此，$(\frac{x^{2} y^{2}}{a^{2} b^{3}})^{n}=\frac{x^{2 n} \times y^{2 n}}{a^{2 n} b^{3 n}}$$=\frac{x^{2 n} y^{2 n}}{a^{2 n} b^{3 n}}$ 因此， $(\frac{x^{2} y^{2}}{a^{2} b^{3}})^{n}=\frac{x^{2 n} y^{2 n}}{a^{2 n} b^{3 n}}$。
已知：\( \frac{\left(a^{3 n-9}\right)^{6}}{a^{2 n-4}} \) 要求：化简给定表达式。解答：我们知道，$(a^{m})^{n}=a^{m n}$，$a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$，$a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}$，$a^{0}=1$。因此，$\frac{(a^{3 n-9})^{6}}{a^{2 n-4}}=\frac{a^{(3 n-9) 6}}{a^{2 n-4}}$$=\frac{a^{18 n-54}}{a^{2 n-4}}$$=a^{(18 n-54-2 n+4)}$$=a^{(16 n-50)}$ 因此， $\frac{(a^{3 n-9})^{6}}{a^{2 n-4}}=a^{(16 n-50)}$。
已知：1 公顷等于 10,000 平方米。要求：求其在平方厘米中的值，并用科学记数法表示。解答：我们知道，$1\ m=100\ cm$。因此，$10000\ m^2=10000\ (100\ cm)^2$$=10000\times(100)^2\ cm^2$$=10000\times10000\ cm^2$$=100000000\ cm^2$$=10^8\ cm^2$ 因此，1 公顷用科学记数法表示为 $10^8\ cm^2$。
已知：$a = 3$ 且 $b =-2$ 要求：求 $a^a+ b^b$ 的值。解答：我们知道，$a^{-m}=\frac{1}{a^m}$。因此，$a^a+ b^b=(3)^3+(-2)^{-2}$$=27+\frac{1}{(-2^{2})}$$=27+\frac{1}{4}$$=\frac{27\times4+1}{4}$$=\frac{108+1}{4}$$=\frac{109}{4}$ 因此， $a^a+b^b=\frac{109}{4}$。
已知：$a = 3$ 且 $b =-2$ 要求：求 $a^b+ b^a$ 的值。解答：我们知道，$a^{-m}=\frac{1}{a^m}$。因此，$a^b+ b^a=(3)^{-2}+(-2)^{3}$$=\frac{1}{(-3)^{2}}+(-8)$$=\frac{1}{9}-8$$=\frac{1-8\times9}{9}$$=\frac{1-72}{9}$$=\frac{-71}{9}$ 因此， $a^b+b^a=\frac{-71}{9}$。
已知：$a = 3$ 且 $b =-2$ 要求：求 $(a+ b)^{ab}$ 的值。解答：我们知道，$a^{-m}=\frac{1}{a^m}$。因此，$(a+ b)^{ab}=[3+(-2)]^{3\times(-2)}$$=(3-2)^{-6}$$=(1)^{-6}$$=\frac{1}{1^6}$$=\frac{1}{1}$$=1$ 因此， $(a+b)^{ab}=1$。
已知：\( \left(\frac{x^{a}}{x^{b}}\right)^{c} \times\left(\frac{x^{b}}{x^{c}}\right)^{a} \times\left(\frac{x^{c}}{x^{a}}\right)^{b}=1 \) 要求：证明 \( \left(\frac{x^{a}}{x^{b}}\right)^{c} \times\left(\frac{x^{b}}{x^{c}}\right)^{a} \times\left(\frac{x^{c}}{x^{a}}\right)^{b}=1 \)。解答：我们知道， $(a^{m})^{n}=a^{m n}$，$a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$，$a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}$，$a^{0}=1$。左边 $=(\frac{x^{a}}{x^{b}})^{c} \times(\frac{x^{b}}{x^{c}})^{a} \times(\frac{x^{c}}{x^{a}})^{b}$$=(x^{a-b})^{c} \times(x^{b-c})^{a} \times(x^{c-a})^{b}$$=x^{(a-b) c} \times x^{(b-c) a} \times x^{(c-a) b}$$=x^{a c-b c} \times x^{a b-a c} \times x^{b c-a b}$$=x^{a c-b c+a b-a c+b c-a b}$$=x^{0}$$=1$$= 右边 证毕。阅读更多
已知：\( \left(\frac{x^{a}}{x^{-b}}\right)^{a^{2}-a b+b^{2}} \times\left(\frac{x^{b}}{x^{-c}}\right)^{b^{2}-b c+c^{2}} \times\left(\frac{x^{c}}{x^{-a}}\right)^{c^{2}-c a+a^{2}}=1 \) 要求：证明 \( \left(\frac{x^{a}}{x^{-b}}\right)^{a^{2}-a b+b^{2}} \times\left(\frac{x^{b}}{x^{-c}}\right)^{b^{2}-b c+c^{2}} \times\left(\frac{x^{c}}{x^{-a}}\right)^{c^{2}-c a+a^{2}}=1 \)。解答：我们知道， $(a^{m})^{n}=a^{m n}$，$a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$，$a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}$，$a^{0}=1$。左边 $=(\frac{x^{a}}{x^{-b}})^{a^{2}-a b+b^{2}} \times(\frac{x^{b}}{x^{-c}})^{b^{2}-b c+c^{2}} \times(\frac{x^{c}}{x^{-a}})^{c^{2}-c a+a^{2}}$$=(x^{a+b})^{a^{2}-a b+b^{2}} \times(x^{b+c})^{b^{2}-b c+c^{2}} \times(x^{c+a})^{c^{2}-c a+a^{2}}$$=x^{(a+b)(a^{2}-a b+b^{2})} \times x^{(b+c)(b^{2}-b c+c^{2})} \times x^{(c+a)(c^{2}-c a+a^{2})}$$=x^{a^{3}+b^{3}} \times x^{b^{3}+c^{3}} \times x^{c^{3}+a^{3}}$$=x^{a^{3}+b^{3}+b^{3}+c^{3}+c^{3}+a^{3}}$$=x^{2(a^{3}+b^{3}+c^{3})}$$= 右边 证毕。 阅读更多
已知：\( \frac{1}{1+x^{a-b}}+\frac{1}{1+x^{b-a}}=1 \) 要求：证明 \( \frac{1}{1+x^{a-b}}+\frac{1}{1+x^{b-a}}=1 \)。解答：我们知道， $(a^{m})^{n}=a^{m n}$，$a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$，$a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}$，$a^{0}=1$。左边 $=\frac{1}{1+x^{a-b}}+\frac{1}{1+x^{b-a}}$$=\frac{1}{x^{b-b}+x^{a-b}}+\frac{1}{x^{a-a}+x^{b-a}}$ [用 $1=x^{b-b}$ 和 $1=x^{a-a}$ 替换]$=\frac{1}{x^{-b}(x^{b}+x^{a})}+\frac{1}{x^{-a}(x^{a}+x^{b})}$$=\frac{x^{b}}{x^{a}+x^{b}}+\frac{x^{a}}{x^{a}+x^{b}}$$=\frac{x^{b}+x^{a}}{(x^{a}+x^{b})}$$=\frac{x^{a}+x^{b}}{(x^{a}+x^{b})}$$=1$$= 右边 证毕。 阅读更多