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已知：一列火车第一小时行驶 200 米，第二小时行驶 400 米，第三小时行驶 600 米，依此类推，构成一个等差数列。求解：求这列火车在 5 小时内行驶的总距离。解：数列为 200、400、600……a=200，d=200首先求公差：an=a+(n-1)d a5=200+(5-1)200 =200+4×200 a5=1000我们知道，Sn=n/2[首项+末项] =5/2[200+1000] =2.5[1200] ⇒S5=3000因此，火车在 5 小时内行驶 3000 米。
已知：等差数列 15、10、5……求解：求前 10 项之和。解：15、10、5……a=15 d=10-15=-5 Sn=n/2[2a+(n-1)d] S10=10/2[2×15+(10-1)(-5)] =5[30-5×9] =5[30-45] =5(-15)=-75。
已知：等差数列 3、1、-1、-3……求解：写出该等差数列的首项和公差。解：给定的等差数列是 3、1、-1、-3……首项 a=3 公差 d=a2-a1 =1-3 =-2因此，首项是 3，公差是 -2。
已知：一个等差数列的项数为偶数；所有奇数位项的和与所有偶数位项的和分别为 24 和 30。末项比首项大 10.5。求解：求数列的项数。解：设总项数为 2n，首项为 a，公差为 d。a+(2n-1)d=l ⇒(2n-1)d=l-a=10.5 ……(1) [∵ l-a=10.5]如果只取奇数项，它也是一个项数为 n，公差为 2d 的等差数列。24=n/2[2a+(n-1)2d] 24=n(a+(n-1)d) ……(2)30=n/2[2(a+d)+(n-1)2d] 30=n(a+nd) …… 阅读更多
已知：在一个等差数列中，第 8 项的 8 倍等于第 7 项的 17 倍。求解：求第 15 项。解：根据题意，8(a8)=7(a7) ⇒8(a+7d)=7(a+6d) ⇒8a+56d=7a+42d ⇒8a-7a=42d-56d ⇒a=-14d第 15 项的值 a15=a+14d ⇒a15=-14d+19d ⇒a15=0因此，a15 等于 0。
已知：五个数字构成等差数列，其和为 25，积为 2520。如果这五个数字中的一个数是 -1/2。求解：求其中最大的数。解：设这五个数字为：a-2d, a-d, a, a+d, a+2d。已知这五个数字的和为 25。∴ a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=25 ⇒5a=25 ⇒a=5 积 =2520 ⇒(a-2d)(a+2d)(a-d)(a+d)a=2520 (a²-4d²)(a²-d²)a=2520 (25-4d²)(25-d²)=504 4d⁴-125d²+121=0 (d²-1)(4d²-121)=0如果 d²-1=0 ⇒d²=1 ⇒d=±1 它不会给出任何项的值为 -1/2。或者 如果 4d²-121=0 ⇒4d²=121 ⇒d²=121/4 ⇒d=±11/2 所以我们考虑 d=±11/2 所以最大项是 5+2×11/2=16 阅读更多
已知：某人计划用 40 年的年金偿还 3600 卢比的债务，这些年金构成一个等差数列。当偿还了 30 笔年金后，他去世了，留下三分之一的债务未还清。求解：求第一笔年金的金额。解：根据题意，需用 40 笔年金偿还的债务总额 = 3600 卢比。偿还了 30 笔年金后，还有三分之一的债务未还清。这意味着他已经偿还了债务的三分之二。所以，他在 30 笔年金中偿还的金额 S30=(3600)-1/3(3600) ⇒S30=3600-1200 ⇒… 阅读更多
已知：(a-b)²、(a²+b²)、(a+b)² 求解：证明 (a-b)²、(a²+b²)、(a+b)² 成等差数列。解：假设 (a-b)²、(a²+b²) 和 (a+b)² 成等差数列。(a²+b²)-(a-b)²=(a+b)²-(a²+b²)(a²+b²)-(a²+b²-2ab)=a²+b²+2ab-a²-b² 2ab=2ab因为两个连续项之间的差相同。因此，给定的项成等差数列。
已知：一个等差数列的第 3 项和第 15 项之和等于同一数列的第 6 项、第 11 项和第 13 项之和。求解：求该数列中哪些项必然等于零。解：设等差数列的首项为 a，公差为 d。我们知道，第 n 项 an=a+(n-1)d，其中 a 和 d 分别是等差数列的首项和公差。∴ 则第 3 项为 a3=a+2d 第 15 项 a15=a+14d 第 6 项 a6=a+5d 第 11 项 a11=a+10d 第 13 项 a13=a+12d 根据… 阅读更多
已知：在一个等差数列中，第 k 项是 5k+1。求解：求前 100 项的和。解：设等差数列的首项为 a，公差为 d。∴ ak=a+(n-1)d 因为，ak=5k+1 a+(k-1)d=5(k-1)+6 ⇒a+(k-1)d=6+(k-1)5 等式两边相等，我们得到 a=6 和 d=5 ∴ 前 100 项的和，S100=n/2[2a+(n-1)d] =100/2[2×6+99×5] =50[12+495]=50(507)=25350 因此，前 100 项的和是 25350。