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已知：三角形的三个内角成等差数列，最大角是最小角的两倍。求解：求三角形的所有内角。解：设三个内角为 $a−d, \ a, \ a+d$已知，$2(a−d)=a+d$$ \Rightarrow 2a−2d=a+d$$ \Rightarrow a=3d\ .....( i)$$ \Rightarrow a−d+a+a+d=180^o$$ \Rightarrow 3a=180^o$$ \Rightarrow a=\frac{180^{o}}{3}=60^o$$ \Rightarrow d=\frac{a}{3}=\frac{60^{o}}{3}=20^o$ [由 $( i) \ d=\frac{a}{3}$]$ \Rightarrow a−d=60^o-20^o=40^o$$ \Rightarrow a=60^o$$ \Rightarrow a+d=60^o+20^o=80^o$因此，三角形的三个内角分别为 $40^o$，$60^o$ 和 $80^o$。阅读更多
已知：等差数列：$27, \ 23, \ 19, \ ....., \ -65$。求解：求等差数列中从末项数起的第十一项。解：等差数列为 $27, \ 23, \ 19, \ ....., \ -65$ 这里 $a = 27, \ d =23-27=-4$首先，我们应该找到哪一项是 $-65$，设 $a_n=-65$$ \Rightarrow a+( n-1)d=-65$ 代入数值$ \Rightarrow 27+( n-1)( -4)=-65$$ \Rightarrow 27+n( -4) -1( -4) =-65$$ \Rightarrow 27-4n + 4 =-65$$ \Rightarrow 31-4n =-65$$ \Rightarrow -4n = -65 -31$$ \Rightarrow -4n =-96$$ \Rightarrow n = \frac{96}{4}$$ \Rightarrow n = 24$从末项数起的第十一项 =$( 24 -10)^{th}$ 项=$14^{th}$ 项我们需要找出 $a_{14}$$a_n=a+( n-1)d$ 代入数值$ \Rightarrow a_{14}=27+( ... 阅读更多
已知：数列的第 $n$ 项：$3n+7$。求解：求该数列的首项、公差和第 5 项。解：第 $n$ 项，$T_n=3n+7$$T_2=3\times2+7=13$$T_1=3\times1+7=10$$T_5=3\times5+7=22$公差 $d=T_2−T_1$ $=13−10=3$因此，首项 $a=10$，公差 $d=3$，第 5 项 $T_5=22$
已知：在一个等差数列中，前两项是 $12,\ 16$。求解：求它的第 25 项。解：这里，首项 $a=12$，公差 $d=16-12=4$已知 $n$ 项 $t_n=a+(n-1)d$$ \Rightarrow t_{25}=12+( 25-1)4$$ \Rightarrow t_{25}=12+24\times4$$ \Rightarrow t_{25}=12+96=108$因此，等差数列的第 25 项是 108。
已知：三个数成等差数列，其和为 30，第一个数与第三个数的比为 3:7。求解：求这三个数。解：已知，三个数成等差数列，其和 = 30第一个数与第三个数的比为 3:7设三个成等差数列的数为 $a−d, \ a, \ a+d$现在将三个数相加 $=a−d+a+a+d=30$$ \Rightarrow 3a=30$$ \Rightarrow a=\frac{30}{3}$$ \Rightarrow a=10$ 已知比为 $3:7=a−d:a+d$$ \Rightarrow \frac{3}{7}=\frac{( a−d)}{( a+d)}$$ \Rightarrow ( a−d)7=3( a+d)$$ \Rightarrow 7a−7d=3a+3d$$ \Rightarrow 7a−3a=7d+3d$$ \Rightarrow 4a=10d$$ \Rightarrow 4( 10)=10d$$ \Rightarrow 40=10d$$ \Rightarrow d=\frac{40}{10}$$ \Rightarrow d=4$ 因此，这三个数为 $a−d=10−4=6$$a=10$$a+d=10+4=14$$ \therefore 6, \ 10, \ 14, ... 阅读更多
已知：由 $t_n=3n+1$ 定义的数列。求解：写出该数列的前三项。解：已知 $t_n=3n+1$ 令 $n=1$，得到$t_1=3(1)+1=3+1=4$令 $n=2$，得到$t_2=3(2)+1=6+1=7$令 $n=3$，得到$t_3=3(3)+1=9+1=10$因此，前三项为 $4,\ 7\ 和\ 10$。
已知：等差数列：$1,\ 6,\ 11,\ 16\ …201,\ 216$。求解：求等差数列从末项数起的第 17 项。解：$a=1,\ d=5$如果末项是 216，则项数为$1+( n−1)\times5=216$$ \Rightarrow 5( n−1)=216-1=215$$ \Rightarrow n-1=\frac{215}{5}$$ \Rightarrow n-1=43$$ \Rightarrow n=44$从末项数起的第 17 项 $=44−17=27$ 项从首项数起，$27^{th}$ 项 $=1+( 27−1)\times5$$=1+26\times5$$=131$等差数列从末项数起的第 17 项是 131。
已知：数 $n-2,\ 4n-1$ 和 $5n+2$ 成等差数列。求解：求 $n$ 的值。解：$n-2,\ 4n-1,\ 5n+2$ 成等差数列。首项，$a_1=n-2$ 第二项，$a_2=4n-1$ 第三项，$a_3=5n+2$ 公差 $d=a_2-a_1=a_3-a_2$ $ \Rightarrow 4n-1-( n-2)=5n+2-( 4n-1)$ $ \Rightarrow 4n-1-n+2=5n+2-4n+1$ $ \Rightarrow 3n+1=n+3$ $ \Rightarrow 2n=2$ $ \Rightarrow n=\frac{2}{2}=1$ 因此，$n=1$。
已知：一个等差数列的前 n 项和是 $\frac{1}{2}(3n^2+7n)$求解：求它的第 n 项和第 20 项。解：$S_n=\frac{1}{2}( 3n^2+7n)$$S_1=\frac{1}{2}(3+7)=5$$S_2=\frac{1}{2}(3\times2^2+7\times2)=\frac{26}{2}=13$我们知道$S_1=a_1=5$$S_2=a_1+a_2=13$$ \Rightarrow S_2-S_1=a_1+a_2-a_1$$ \Rightarrow 13-5=a_2$$ \Rightarrow a_2=8$我们也知道公差 $d=a_2-a_1$$ \Rightarrow d=8-5=3$等差数列的第 $n$ 项 $=a_n=5+( n-1)3$$a_n= 2+3n$因此第 20 项 $=a_{20}=2+3(20)=62$因此，等差数列的第 20 项是 62。
已知：三个数成等差数列，其和为 3，其积为 -35。求解：求这三个数。解：由题意可知，三个数成等差数列，其和 = 3已知，其积 = -35设三个成等差数列的数为 $a-d, \ a, \ a+d$现在将三个数相加 $=a-d+a+a+d=3$$ \Rightarrow 3a=3$$ \Rightarrow a=\frac{3}{3}$$ \Rightarrow a=1$ 由题意可知，三个数的积为 -35所以，$( a-d)\times( a)\times( a+d)=-35$$ \Rightarrow (1-d)\times(1)\times(1+d)=-35$$ \Rightarrow 1^2-d^2=-35$$ \Rightarrow d^2=35+1$$ \Rightarrow d^2=36$$ \Rightarrow d=\pm\sqrt{36}=\pm6$ 如果 $d=6$，则这三个数为：$(a-d)=1-6=-5$$a=1$$(a+d)=1+6=7$ 如果 $d=-6$，则这三个数为 $(a-d)=1-(-6)=1+6=7$$a=1$$(a+d)=1+(-6)=1-6=-5$因此，这三个数为 $-5, \ 1, \ 7, \ …$ 和 $7, \ 1, \ -5, ... 阅读更多