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已知：三角形 PQR 的外角 PRS 为 $105^o$。$\angle Q=70^o$。求解：我们需要求 $\angle P$。解：我们知道，外角定理指出，三角形的任何一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。因此，$\angle PRS=\angle PQR+\angle RPQ$，$105^o=70^o+\angle RPQ$，$\angle RPQ=105^o-70^o=35^o$。我们可以看到，$\angle PRS > \angle P$。$\angle P$ 的度数为 $35^o$。
已知：三角形 ABC 的角 A、B、C 成等差数列，且 b:c= √3 :√2。求解：求角 A。解：设角为 a、a+d、a+2d。则 a+a+d+a+2d=180，$\Rightarrow 3( a+d)=180^o$，$\Rightarrow a+d=\frac{180}{3}=60^o$。所以角 B=$60^o$。现在，$\frac{b}{c}=\frac{sinB}{sinC}=\sqrt{\frac{3}{2}}$，$\Rightarrow sinC=\sqrt{\frac{2}{3}}sinB$，$\Rightarrow sinC=\sqrt{\frac{2}{3}}\times sin60^o$，$\Rightarrow sinC=\sqrt{\frac{2}{3}}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，$\Rightarrow sinC=sin45^o$，$\Rightarrow C=45^o$。$\therefore\ \angle A=180^o-\angle B-\angle C=180^o-60^o-45^o=75^o$阅读更多
已知：在一个等差数列中，第一项是 4，第九项是 20。求解：求第 15 项。解：第一项 $a_1=4$，第九项 $a_9=20$。我们知道，等差数列的第 n 项公式为 $a_n=a_1+(n−1)d\ \ .....(1)$。因此，$a_9=a_1+( 9−1)d$ ........从 (1) 得 $\Rightarrow a_9=a_1+( 8)d$，$\Rightarrow 20=4+8d$，$\Rightarrow 16=8d$，$\Rightarrow d=2$。因此，$a_{15}=a_1+(15−1)d=a_1+( 14)d=4+14( 2)=28+4=32$。$\therefore$ 等差数列的第 15 项 = 32。
已知：等差数列 2、5、8… 的前 2n 项之和等于等差数列 57、59、61… 的前 n 项之和。求解：求 n。解：在 2、5、8… 中，前 2n 项之和 =$\frac{2n}{2}[2( 2)+( 2n−1)( 3)]=n( 6n+1)$。在 57、59、61… 中，前 n 项之和 =$\frac{n}{2}[2(57)+(n−1)(2)]=n(56+n)$。已知，$n(6n+1)=n(56+n)$，$\Rightarrow 6n+1=56+n$，$\Rightarrow 5n=55$，$\Rightarrow n=11$。
已知：a、b、c 成等差数列。求解：证明 $b=\frac{a+c}{2}$。解：$\because a、b、c$ 成等差数列，$\Rightarrow b-a=c-b$，$\Rightarrow b+b=a+c$，$\Rightarrow 2b=a+c$，$\Rightarrow b=\frac{a+c}{2}$。证毕。
已知：一个包含 20 个观测值的数据集的平均值为 40。如果一个观测值 53 被错误地记录为 33。求解：求正确的平均值。解：平均值=$\frac{S}{n}$，其中 S=所有观测值的和，n=观测值的个数。$\therefore 40=\frac{S}{20}$，$\Rightarrow S=800$。$\because 53$ 被记录为 33，所以我们需要加上 (53−33=20) 来得到正确的平均值，即 $平均值_{正确}=\frac{800+20}{20}=41$。
已知：2、a、8… 成等差数列。求解：求 a 的值。解：$\because 2、a、8,.....$ 是一个等差数列，$\therefore a-2=8-a$，$\Rightarrow a+a=8+2$，$\Rightarrow 2a=10$，$\Rightarrow a=\frac{10}{2}=5$。因此 $a=5$。
已知：$f(x)=3ax^2−4bx+c$ $(a, b, c∈R, a\ne 0)$，其中 a、b、c 成等差数列。求解：求 $f( x)=0$ 的根的个数，以及它们是否是实数。解：$\because a, \ b, \ c$ 成等差数列，$\therefore 2b=a+c$，$4b^2=( a+c)^2$ [两边平方]。给定函数 $f( x)=3ax^2−4bx+c$ 的判别式为，$D=16b^2−12ac=4( a+c)^2−12ac=4[( a^2+c^2+2ac)−3ac]=4( a^2+c^2−ac)=4( a^2+c^2−2ac+ac)=4( ( a−c)^2+ac)$。情况 1：如果 a 和 c 符号相反，则 D=(+)ve。情况 2：如果 a 和 c 符号相同，则 D=(+)ve。这表明 $f(x)=0$ 有两个不相等的实根。阅读更多
已知：100 到 1000 之间的数。求解：求 100 和 1000 之间能被 7 整除的数的个数。解：100 和 1000 之间能被 7 整除的数是：105、112、119、……、994，它们构成一个等差数列。这里我们有：第一项 a=105，公差 d=7，最后一项 $a_n=994$，即 $a+(n−1)d=994$，$\Rightarrow 105+( n−1)( 7)=994$，$\Rightarrow 7( n−1)=994−105=889$，$\Rightarrow n−1=\frac{889}{7}=127$，$\therefore n=128$。$\therefore$ 100 和 1000 之间有 128 个能被 7 整除的数。
已知：在三角形 ABC 中，$cot \frac{A}{2}、cot \frac{B}{2}、cot \frac{C}{2}$ 成等差数列。求解：证明 a、b、c 成等差数列。解：$cot\frac{A}{2}=\frac{S−a}{r}$，$cot\frac{B}{2}=\frac{S−b}{r}$，$cot\frac{C}{2}=\frac{S−c}{r}$，$S=\frac{a+b+c}{2}$，$r=半径$。$\frac{cot( \frac{A}{2})}{S-a}=\frac{cot( \frac{B}{2})}{S-b}=\frac{cot( \frac{C}{2})}{S-c}$。由于 $cot\frac{A}{2}；cot\frac{B}{2}；cot\frac{C}{2}$ 成等差数列，$\therefore cot\frac{B}{2}=\frac{[cot\frac{A}{2}+cot\frac{C}{2}]}{2}$。所以 $\frac{[cot\frac{A}{2}+cot\frac{C}{2}]}{2}=\frac{[( \frac{( S−a)}{(S−b)})cot( \frac{B}{2})+( \frac{( S−c)}{( S−b)})cot\frac{B}{2}]}{2}=\frac{1}{2}.( \frac{( 2S−a−c)}{S−b})cot\frac{B}{2}=\frac{1}{2}.\frac{( a+2b+c)}{( a+c)}cot\frac{B}{2}=\frac{1}{2}.( \frac{( 2a+2c)}{a+c})cot\frac{B}{2}$ [由于 $2b=a+c$] $=cot\frac{B}{2}$。$\therefore a、b、c$ 成等差数列。阅读更多