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已知：$tan\theta=−1$，其中 $\theta$ 为直线的倾斜角，且 y 截距为 $-\frac{1}{2}$。求解：求直线方程。解：直线的斜率为 $m=tan\theta=−1$。利用斜截式，方程为 $y=mx+c$，$y=−x+\frac{−1}{2}$，$\Rightarrow 2y=−2x−1$，$\therefore$ 直线方程为 $2x+2y+1=0$。
已知：方程组 $kx-y=2$ 和 $6x-2y=3$。求解：求使方程组具有唯一解的 $k$ 值。解：该方程组为 $kx-y-2=0\ .....( i)$，$6x-2y-3=0\ ....( ii)$，其中 $a_1 = k,\ b_1 = -1,\ c_1 = -2,\ a_2 = 6,\ b_2 = -2$ 和 $c_2 = -3$。为了使该方程组具有唯一解，必须满足：$\frac{a_1}{a_2}≠\frac{b_1}{b_2}$，$\Rightarrow \frac{k}{6}≠\frac{-1}{-2}$，$\Rightarrow -2k≠-6$，$\Rightarrow k≠\frac{-6}{-2}$，$\Rightarrow k≠3$。
已知：线性方程组：$kx+4y=5$，$3x+2y=5$。求解：求当给定方程组仅有唯一解时 $k$ 的值。解：如果线性方程组有解（唯一解或无数解），则该方程组是相容的。给定方程为：$kx+4y=5 .....( 1)$，$3x+2y=5 ......( 2)$。其中，$a_1=k, \ b_1=4, \ c_1=−5$ 以及 $a_2=3, \ b_2=2, \ c_2=−5$。对于该方程组，$\frac{a_1}{a_2}=\frac{k}{3}, \frac{b_1}{b_2}=\frac{4}{2}=2$ 以及 $\frac{c_1}{c_2}=\frac{-5}{-5}=1$。这里 $\frac{b_1}{b_2}≠ \frac{c_1}{c_2}$，因此该方程组没有无数个解。所以，方程组必须有唯一解。$\Rightarrow \frac{a_1}{a_2}≠\frac{b_1}{b_2}$，$\Rightarrow \frac{k}{3}≠2$，$\Rightarrow k≠6$。因此，当 $k≠6$ 时，给定的线性方程组仅有唯一解。阅读更多
已知：方程 $2x−4y=29$ 和 $3x+1=0$。求解：求给定方程组的解的个数。解：二元一次方程组的一般形式为 $a_1x+b_1y+c_1=0$ 和 $a_2x+b_2y+c_2=0$。$2x−4y=29---( 1)$，$3x+1=0---( 2)$。将方程 $( 1)$ 和 $( 2)$ 与方程的一般形式进行比较，得到 $a1=2, \ a2=3, \ b_1=−4, \ b_2=0$。因此，$\frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{3}$ 且 $\frac{b_1}{b_2}=\frac{-4}{0}$。$\Rightarrow \frac{a_1}{a_2}≠ \frac{b_1}{b_2}$，表明方程组相容。因此，方程组相容。阅读更多
已知：一个圆的半径为 $21\ cm$。求解：求圆周长。解：圆周长 $=2 \pi r =2 \times \frac{22}{7} \times 21 =2 \times 22 \times 3 = 44 \times 3 = 132\ cm$。因此，圆周长为 $132\ cm$。
已知：一条圆形跑道的内圆周长为 $264\ m$，跑道宽度为 $7\ m$。求解：求外圆周长。解：设内跑道的半径为 $r$。内圆周长 $=2πr=264\ m$ $(已知)$，$\Rightarrow 2×\frac{22}{7}×r=264$，$\Rightarrow r=264×\frac{7}{2×22}$，$\Rightarrow r=42\ m$。跑道宽度 $( w)=7\ m$ $(已知)$，$\therefore$ 外半径 $( R)=r+w =42+7=49\ m$。
已知：圆的直径为 $10.5\ m$。求解：求圆的周长。解：已知圆的直径 $d=10.5$，$\therefore$ 圆的半径 $r=\frac{10.5}{2}=5.25$，圆的周长 $=2\ \pi r =2\times\frac{22}{7}\times5.25 =33\ m$。
已知：手镯的直径为 $7\ cm$。要在手镯上镶嵌一条细金条，金条价格为每厘米 100 元。求解：求金条的成本（以元为单位）。解：已知手镯的直径 $( d) = 7\ cm$，金条长度 = 圆周长 =$\pi d =( \frac{22}{7}) \times 7\ cm = 22\ cm$。现在，每厘米金条的成本 = 100 元，22 厘米金条的成本 = $100 \times 22 = 2200$ 元。
已知：时钟的短针和长针分别长 $4\ cm$ 和 $6\ cm$。求解：求两天内它们尖端走过的总距离。解：时钟的指针尖端走过的路径是圆形的。时针在两天内（48 小时）走过 4 个完整的圆圈。这里 $r=4\ cm$，距离 $= 4\times( 2\pi r)=2 \times \frac{22}{7} \times 4 \times 4 = 100.57\ cm$。分针在两天内（每小时 1 个圆圈）走过 48 个圆圈。这里 $r=6\ cm$，距离 $= 48\times( 2\pi r)=2 \times \frac{22}{7} \times 6 \times 48 = 1810.23\ cm$。总距离 $= 100.57 + 1810.23 = 1910.8\ cm$。
已知：方程：$5x−3y=11; −10x+6y=−22$。求解：判断给定的线性方程组是相容的还是不相容的。解：$\frac{a_1}{a_2}=\frac{5}{-10}=-\frac{1}{2},\ \frac{b_1}{b_2}=\frac{-3}{6}=-\frac{1}{2}$ 且 $\frac{c_1}{c_2}=\frac{11}{-22}=-\frac{1}{2}$。这里我们发现 $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=-\frac{1}{2}$。直线重合，有无数个解。方程组构成一个相容的方程组。