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已知：一个直角三角形 ABC，其中 ∠B=90° 需要做：证明：(斜边)²=(底边)²+(高)² 或者在三角形 ABC 中：AC²=AB²+BC² 解答：作图：从 B 作 BD⊥AC。 证明：在三角形 ADB 和三角形 ABC 中，我们有∠ADB=∠ABC [每个都等于 90°] 并且，∠A=∠A ... 阅读更多
已知：桶的体积 = 123308.8 cm³，上底半径 R=20 cm，下底半径 r=12 cm。 需要做：求圆台形水桶的高度和制作它所需的金属板面积。 解答：设水桶的高度为 h cm，斜高为 l cm。 我们知道桶的体积 = πh/3 * (r² + R² + rR) ⇒ 123308.8 = 3.14 * h/3 * (20² + 12² + 20 * 12) ⇒ h = 15 cm 现在，圆台的斜高，l = √(h² + (R-r)²) ⇒ l = √(15² + (20-12)²) ⇒ l = √(225+64) ⇒ l = √289 ⇒ l = 17 cm 制作该桶所需的金属板面积，A = πr² + π ... 阅读更多
已知：CA=6 cm，AB=5 cm，∠BAC=45°， 需要做：作一个三角形 ABC，其中 CA=6 cm，AB=5 cm，∠BAC=45°，然后作一个三角形，其边长分别是 ABC 各对应边的 3/5。 解答：作图步骤：1. 画 AB=5 cm。以 A 为圆心，画∠BAC=45°。连接 BC。这样就形成了三角形 ABC。2. 画 AX，使得∠BAX 是一个锐角。3. 切割 5 个相等的弧，使得 AA₁=A₁A₂=A₂A₃=A₃A₄=A₄A₅4. 连接 A₅ 和 B，并过 A₃ 画一条平行于 A₅B 的线，该线交 AB 于 B' 这里，... 阅读更多
已知：两根等高的杆子 AB 和 CD，设 AB=CD=h，杆子之间的距离 BD=80 m 需要做：求杆子的高度以及该点到杆子的距离。 解答：设给定点为 E，使得 BE=x 且 ED=80-x 在三角形 ABE 中tan30°=AB/BE⇒ 1/√3=h/x⇒ x=√3h .........(1) 在三角形 CED 中tan60°=CD/ED√3=h/(80-x)⇒ h=(80-x)√3 .........(2) 将 x 的值代入方程 (2)，得到h=(80-√3h)√3⇒ h=80√3-3h⇒ h+3h=80√3⇒ 4h =80√3⇒ h=80√3/4⇒ h=20√3 m 并且从 (1) 中，我们知道x=h√3⇒ x=20√3×√3⇒ x=60 m∴ DE=80-x=80-60=20 m因此，每根杆子的高度为 20√3 m，该点到每根杆子的距离分别为... 阅读更多
已知：水渠宽度 = 6 米，水渠深度 = 1.5 米，水流速度 = 10 千米/小时，给定时间 = 30 分钟 = 1/2 小时，积水深度 = 8 厘米。 需要做：求灌溉面积。 解答：水渠呈长方体形状，其中，宽度 = 6 米高度 = 1.5 米水渠速度 = 10 千米/小时1 小时内水渠长度 = 10 千米60 分钟内水渠长度 = 10 千米1 分钟内水渠长度 = 1/60 * 10 千米30 分钟内水渠长度 = 30/60 * 10 = 5 千米 = 5000 米现在，水渠体积 = 长度 * 宽度 * 高度 ... 阅读更多
已知：一艘船在 10 小时内逆流行驶 30 千米，顺流行驶 44 千米。在 13 小时内，它可以逆流行驶 40 千米，顺流行驶 55 千米。 需要做：求水流速度和船在静水中的速度。 解答：设水流速度 = x 千米/小时设船在静水中的速度 = y 千米/小时逆流速度 = y-x 千米/小时顺流速度 = y+x 千米/小时时间 = 距离/速度船逆流行驶 30 千米，顺流行驶 44 千米，用时 10 小时。时间 = 30/(y-x) + 44/(y+x) ⇒ 10 = 30/(y-x) + 44/(y+x) ......... (1)船逆流行驶 40 千米，顺流行驶 55 千米，用时 13 小时... 阅读更多
已知：灯塔高度 = 100 米，改变仰角所需时间 = 2 分钟，仰角变化范围从 60° 到 30°。 需要做：求船的速度。 解答：AB 是高度为 100 米的灯塔。设船的速度为 x 米/分钟。CD 是人行驶的距离，用于改变仰角。因为距离 = 速度 * 时间所以，CD = x * 2 = 2x在三角形 ABC 中，tan60°=AB/BC⇒ √3=100/BC⇒ BC=100/√100在三角形 ABD 中，tan30°=AB/BD⇒ 1/√3=100/BD⇒ BD=100√3我们知道，CD=BD-BC⇒ 2x=100√3-100/√3⇒ 2x=(300-100)/√3⇒ 2x=200/√3⇒ x=1/2 * 200/√3⇒ x=100/√3使用 √3=1.73x=100/3.173=57.80 米/分钟因此，船的速度为 57.80 米/分钟。
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"\**已知：**矩形的边长分别为 8 cm 和 6 cm。O 是圆心。**求：**阴影部分的面积。**解：**这里，对角线 AC = 圆的直径。△ABC 是一个直角三角形。根据勾股定理⇒ AC² = AB² + BC²⇒ AC² = 8² + 6²⇒ AC² = 64 + 36 = 100⇒ AC = √100 = 10 cm圆的半径，OC = 直径(AC)/2 = 10/2 = 5 cm圆的面积 = πr² = 3.14 × (5)² = 78.5 cm²矩形的面积 ... 阅读更多
**已知：**P 和 Q 分别是直角三角形 ABC（∠C 为直角）的边 CA 和 CB 上的点。**求证：**(AQ² + BP²) = (AB² + PQ²) **证明：**在△ABC、△ACQ、△BPC、△PCQ 中使用勾股定理，得到 AB² = AC² + BC² ....................(i)AQ² = AC² + CQ² ....................(ii)BP² = PC² + BC² ................... (iii)PQ² = PC² + CQ² ....................(iv)将方程式 (ii) 和 (iii) 相加，得到AQ² + BP² = AC² + CQ² + PC² + BC² =( AC² + BC²) + (CQ² + PC²)= AB² + PQ²因为 LHS = AQ² + BP²= AB² + PQ² = RHS因此得证。
"\**已知：**∠ACB = 90° 且 CD ⊥ AB**求证：**CD² = BD × AD。**证明：**已知 CD ⊥ AB。∠ACB = 90°在△ACD 中使用勾股定理(AC)² = (AD)² + (CD)² ..............(i)在△CDB 中使用勾股定理，(CB)² = (BD)² + (CD)² ..............(ii)同样在△ABC 中，(AB)² = (AC)² + (BC)² ................(iii)因为 AB = AD + BD ................ (iv)将方程式 (iv) 两边平方，得到(AB)² = (AD + BD)²由于，AB² = AD² + BD² + 2 × BD × AD从方程式 (iii) 得到AC² + BC² = AD² + BD² + 2 × BD × AD将 AC 的值从方程式 (i) 和 BC 的值从方程式 (ii) 代入，我们 ... 阅读更多