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已知：陈述“任何正整数的平方都形如 $3m$ 或 $3m+1$，但不能形如 $3m+2$”。要证明：这里我们要证明给定的陈述。解：根据欧几里得引理，如果 $a$ 和 $b$ 是两个正整数；$a\ =\ bq\ +\ r$，其中 $0\ \underline{< }\ r\
已知：正整数 $q$。要证明：我们要证明任何正整数的平方都形如 $4q$ 或 $4q\ +\ 1$，其中 '$q$' 为某个整数。解：根据欧几里得除法算法，如果 $a$ 和 $b$ 是两个正整数，$a\ =\ bm\ +\ r$，其中 $0\ \underline{< }\ r\
已知：陈述“任何正整数都形如 $5q$，$5q\ +\ 1$，$5q\ +\ 4$，其中 $q$ 为某个整数”。要证明：这里我们要证明任何正整数的平方都形如 $5q$，$5q\ +\ 1$，$5q\ +\ 4$，其中 $q$ 为某个整数。解：让我们考虑一个整数 'a'，使得 $a\ =\ 5m\ +\ r$。根据欧几里得除法算法：$a\ =\ bm\ +\ r$，其中 $0\ \underline{< }\ r\
已知：陈述“任何奇正整数的平方都形如 $8q\ +\ 1$，其中 $q$ 为某个整数”。要证明：这里我们要证明给定的陈述。解：设 'a' 为任何正整数。所以，根据欧几里得除法引理：$a\ =\ bq\ +\ r$，其中 $0\ \underline{< }\ r\
已知：陈述“任何正奇数都形如 $6q\ +\ 1$ 或 $6q\ +\ 3$ 或 $6q\ +\ 5$，其中 $q$ 为某个整数”。要证明：这里我们要证明给定的陈述。解：根据欧几里得除法引理，如果 $a$ 和 $b$ 是两个正整数，则 $a\ =\ bq\ +\ r$，其中 $0\ \underline{< }\ r\
解：$(\frac{-10}{3}a^{2}b^{2})(\frac{6}{5}a^{3}b^{2})$ = $(\frac{-10}{3}\times\frac{6}{5})$$a^{5}b^{4}$ = $-4$$a^{5}b^{4}$
固体性质坚硬，因此不具有流动性。液体可以流动，因此具有流动性，但比气体小。气体比液体更容易流动，因此其流动性最大。
对一篮子包含成熟和过熟水果的水果进行分类的方法是手工挑选。随着水果成熟，果胶酸钙等细胞壁化合物开始分解，因此成熟的水果会比未成熟的水果软得多，可以通过触摸来区分。
如果你摸到的石头没有任何不平整的表面，那么我们可以描述该表面为光滑的。石头的凹凸不平表面是由外表面存在的微观孔隙和脊状物形成的，这被称为粗糙。如果不存在微观孔隙和脊状物（天然或人工），那么我们会感觉到一个平整的表面，我们称之为光滑。