配方法

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简介

配方法是一种代数技巧，用于将包含完全平方项的二次表达式写成特定的形式。二次公式是确定二次方程根的最基本方法。某些二次方程不容易因式分解，在这些情况下，我们可以使用此二次公式尽快找到根。

二次方程的根也有助于确定二次方程的根的和与积。二次公式的两个根表示为单个表达式。可以使用正负号交替获得方程的两个不同根。

求解二次方程的第一步是找到满足方程的变量的值（或值）。二次方程所需的值称为其根、解或零点。二次方程最多只能有两个根，因为它的次数为 2。

二次方程

二次方程的定义为一个二次多项式方程，要求必须包含至少一个平方项。$\mathrm{ax^{2}\:+\:bx\:+\:c\:=\:0}$

其中 a、b 和 c 是数值系数，x 是未知变量。这里，'a' 不等于零，因为如果它等于零，方程将不再是二次方程，而将变成线性方程，例如 $\mathrm{bx\:+\:c\:=\:0}$

因此，我们不能将此方程称为二次方程。

a、b 和 c 的另一个名称是二次系数。满足二次方程的未知变量 x 的值是问题的解。二次方程的根或零点被称为这些解。给定方程的答案是任何多项式的根。

用配方法解二次方程

假设方程为 $\mathrm{ax^{2}\:+\:bx\:+\:c\:=\:0}$。然后使用提供的步骤来完成配方法以回答问题。

步骤 1 - 将方程写成所示的形式将确保 C 在右侧。

步骤 2 - 如果 an 不等于 1，则将整个方程除以 an，使 𝑥² 的系数为 1。

步骤 3 - 现在在两边加上 $\mathrm{(\frac{b}{2a})^{2}}$，即 -x 系数的平方。

步骤 4 - 将方程左侧的二项式项的平方进行因式分解。

步骤 5 - 求平方根。

$$\mathrm{ax^{2}\:+\:bx\:+\:c\:=\:0}$$

$$\mathrm{\Longrightarrow\:x^{2}\:+\:\frac{b}{a}x\:+\:\frac{c}{a}\:=\:0}$$

$$\mathrm{\Longrightarrow\:x^{2}\:+\:\frac{b}{a}x\:+\:(\frac{b}{2a})^{2}\:-\:(\frac{b}{2a})^{2}\:+\:\frac{c}{d}\:=\:0}$$

$$\mathrm{\Longrightarrow\:[x\:+\:\frac{b}{2a}]^{2}\:-\:[\frac{b^{2}\:-\:4ac}{4a^{2}}]\:=\:0}$$

$$\mathrm{\Longrightarrow\:[x\:+\:\frac{b}{2a}]^{2}\:=\:[\frac{b^{2}\:-\:4ac}{4a^{2}}]}$$

如果 $\mathrm{b^{2}\:-\:4ac}$ 大于或等于零，则

$$\mathrm{x\:+\:\frac{b}{2a}\:=\:\pm\:\sqrt{[\frac{b^{2}\:-\:4ac}{4a^{2}}]}}$$

$$\mathrm{\Longrightarrow\:x\:+\:\frac{b}{2a}\:=\:\pm\:\frac{\sqrt{b^{2}\:-\:4ac}}{2a}}$$

$$\mathrm{\Longrightarrow\:x\:=\:\frac{-b\:\pm\:\sqrt{b^{2}\:-\:4ac}}{2a}}$$

二次公式

使用二次公式可以找到二次方程的根。此公式有助于评估二次方程的解，而不是因式分解方法。我们知道二次方程 $\mathrm{ax^{2}\:+\:bx}$ 具有以下解（或根）公式 -

$$\mathrm{x\:+\:\frac{b}{2a}\:=\:\pm\:\frac{\sqrt{b^{2}\:-\:4ac}}{2a}}$$

$$\mathrm{\Longrightarrow\:x\:=\:\frac{-b\:\pm\:\sqrt{b^{2}\:-\:4ac}}{2a}}$$

二次方程无实根的条件

如果二次函数的判别式小于零，则该函数没有实根，并且它所表示的抛物线不与 x 轴相交。

• 判别式，$\mathrm{b^{2}\:-\:4ac\:<0}$

• 抛物线不与 x 轴相交。

例题

1) 求二次方程 $\mathrm{x^{2}\:+\:x\:+\:1\:=\:0}$ 的根

答案 - 我们知道二次公式为 $\mathrm{x\:=\:\frac{-b\:\pm\:\sqrt{b^{2}\:-\:4ac}}{2a}}$

现在将此公式应用于给定方程，

$$\mathrm{x\:=\:\frac{-1\:\pm\:\sqrt{1^{2}\:-\:4.1.1}}{2.1}}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{-1\:\pm\:\sqrt{-3}}{2}}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{-1\:\pm\:i\:\sqrt{3}}{2}}$$

2) 求 $\mathrm{x^{2}\:-\:2x\:+\:1\:=\:0}$ 的根

答案 - 我们知道二次公式为 $\mathrm{x\:=\:\frac{-b\:\pm\:\sqrt{b^{2}\:-\:4ac}}{2a}}$

现在将此公式应用于给定方程，

$$\mathrm{x\:=\:\frac{2\:\pm\:\sqrt{2^{2}\:-\:4.1.1}}{2.1}}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{2}{2}}$$

$$\mathrm{x\:=\:1}$$

3) 求二次方程 $\mathrm{x^{2}\:-\:4x\:+\:3\:=\:0}$ 的根

答案 - 我们知道二次公式为 $\mathrm{x\:=\:\frac{-b\:\pm\:\sqrt{b^{2}\:-\:4ac}}{2a}}$

现在将此公式应用于给定方程，

$$\mathrm{x\:=\:\frac{4\:\pm\:\sqrt{(-4)^{2}\:-\:4.1.3}}{2.1}}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{4\:\pm\:\sqrt{16\:-\:12}}{2}}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{4\:\pm\:2}{2}}$$

$$\mathrm{\Longrightarrow\:x\:=\:3\:and\:x\:=\:1}$$

4) 求 $\mathrm{x^{2}\:-\:2x\:+\:3\:=\:0}$ 的判别式

答案 - 判别式，

$$\mathrm{b^{2}\:-\:4ac\:=\:(-2)^{2}\:-\:4.1.3}$$

$$\mathrm{=\:4\:-\:12}$$

$$\mathrm{=\:-8}$$

5) 求 $\mathrm{}$ 的根

答案 - 判别式，

$$\mathrm{b^{2}\:-\:4ac\:=\:(-5)^{2}\:-\:4.2.3}$$

$$\mathrm{=\:25\:-\:24}$$

$$\mathrm{=\:1}$$

6) 求给定方程 $\mathrm{5x^{2}\:-\:4x\:+\:3\:=\:0}$ 的根

答案 - 我们知道二次公式为 $\mathrm{x\:=\:\frac{-b\:\pm\:\sqrt{b^{2}\:-\:4ac}}{2a}}$

现在将此公式应用于给定方程，

$$\mathrm{x\:=\:\frac{4\:\pm\:\sqrt{(-4)^{2}\:-\:4.5.3}}{2.1}}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{4\:\pm\:\sqrt{16\:-\:60}}{2}}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{4\:\pm\:i\:\sqrt{44}}{2a}}$$

7) 求二次方程 $\mathrm{x^{2}\:-\:x\:+\:3\:=\:0}$ 的根的性质

答案 - 为了找到二次方程的根的性质，我们必须找到它的判别式，即

$$\mathrm{b^{2}\:-\:4ac\:=\:(-1)^{2}\:-\:4.1.3}$$

$$\mathrm{=\:1\:-\:12}$$

$$\mathrm{=\:-11}$$

由于 $\mathrm{b^{2}\:-\:4ac}$ 小于零，因此它没有实根。

8) 求二次方程 $\mathrm{8x^{2}\:-\:6x\:+\:1\:=\:0}$ 的根的性质

答案 - 为了找到二次方程的根的性质，我们必须找到它的判别式，即

$$\mathrm{b^{2}\:-\:4ac\:=\:(-6)^{2}\:-\:4.8.1}$$

$$\mathrm{=\:36\:-\:32}$$

$$\mathrm{=\:4}$$

由于 $\mathrm{b^{2}\:-\:4ac}$ 大于零，因此它有两个实根。

9) 求二次方程 $\mathrm{}$ 的根的性质

答案 - 为了找到二次方程的根的性质，我们必须找到它的判别式，即

$$\mathrm{b^{2}\:-\:4ac\:=\:(-2)^{2}\:-\:4.1.9}$$

$$\mathrm{=\:4\:-36}$$

$$\mathrm{=\:-32}$$

由于 $\mathrm{b^{2}\:-\:4ac}$ 小于零，因此它没有实根。

10) 求二次方程 $\mathrm{}$ 的根

答案 - 我们知道二次公式为 $\mathrm{x\:=\:\frac{-b\:\pm\:\sqrt{b^{2}\:-\:4ac}}{2a}}$

现在将此公式应用于给定方程，

$$\mathrm{x\:=\:\frac{3\:\pm\:\sqrt{(-3)^{2}\:-\:4.1.5}}{2.1}}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{3\:\pm\:\sqrt{9\:-\:20}}{2}}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{3\:\pm\:i\:\sqrt{11}}{2}}$$

结论

二次方程的定义为一个二次多项式方程，要求必须包含至少一个平方项。二次方程的一般形式如下 - $\mathrm{ax^{2}\:+\:bx\:+\:c\:=\:0}$

配方法是一种代数方法，用于将二次表达式写成包含完全平方项的形式。简单来说，配方法就是将形如 $\mathrm{ax^{2}\:+\:bx\:+\:c\:=\:0}$ 的二次方程转换为 $\mathrm{x\:=\:\frac{-b\:\pm\:\sqrt{b^{2}\:-\:4ac}}{2a}$ 的形式。此方法常用于解二次方程。

求解二次方程的第一步是找到满足方程的变量的值（或值）。二次方程所需的值称为其根、解或零点。二次方程最多只能有两个根，因为它的次数为 2。

常见问题

1. 什么是二次方程？

二次方程是关于 x（一个变量）的二阶代数方程。一般形式 - $\mathrm{ax^{2}\:+\:bx\:+\:c\:=\:0}$

2. 无实根的条件是什么？

判别式 $\mathrm{b^{2}\:-\:4ac\:<0}$ 抛物线不与 x 轴相交

3. 什么是二次公式？

$\mathrm{x\:=\:\frac{-b\:\pm\:\sqrt{b^{2}\:-\:4ac}}{2a}}$

4. 二次方程的一般方程是什么？

二次方程的一般方程为 $\mathrm{ax^{2}\:+\:bx\:+\:c\:=\:0\:.\:a\neq\:0}$

5. 配方法的用途是什么？

配方法通过将二次多项式或方程转换为一个完全平方加上一个常数，来对其进行因式分解。