利用配方法求解下列二次方程的根（如果存在）。

$x^2 - (\sqrt2+1)x + \sqrt2 = 0$

已知

已知二次方程为 $x^2 - (\sqrt2+1)x + \sqrt2 = 0$。

要求

我们需要求解给定二次方程的根。

解

$x^2 - (\sqrt2+1)x + \sqrt2 = 0$

$x^2-2\times \frac{1}{2} \times (\sqrt2+1)x =-\sqrt2$

$x^2-2(\frac{\sqrt2+1}{2})x=-\sqrt2$

在方程两边加上 $(\frac{\sqrt2+1}{2})^2$ 可以配成完全平方。因此，

$x^2-2(\frac{\sqrt2+1}{2})x+(\frac{\sqrt2+1}{2})^2=-\sqrt2+(\frac{\sqrt2+1}{2})^2$

$(x-\frac{\sqrt2+1}{2})^2=-\sqrt2+\frac{2+1+2\sqrt2}{4}$      (因为 $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$)

$(x-\frac{\sqrt2+1}{2})^2=\frac{3+2\sqrt2-\sqrt2\times4}{4}$

$(x-\frac{\sqrt2+1}{2})^2=\frac{3+2\sqrt2-4\sqrt2}{4}$

$(x-\frac{\sqrt2+1}{2})^2=\frac{3-2\sqrt2}{4}$

$x-\frac{\sqrt2+1}{2}=\pm \sqrt{\frac{(\sqrt2)^2+(1)^2-2(1)\sqrt2}{(2)^2}}$

$x-\frac{\sqrt2+1}{2}=\pm \sqrt{\frac{(\sqrt2-1)^2}{(2)^2}}$

$x-\frac{\sqrt2+1}{2}=\pm \sqrt{(\frac{(\sqrt2-1}{2})^2}$

$x-\frac{\sqrt2+1}{2}=\pm \frac{\sqrt2-1}{2}$

$x=\frac{\sqrt2-1}{2}+\frac{\sqrt2+1}{2}$ 或 $x=\frac{\sqrt2+1}{2}-\frac{\sqrt2-1}{2}$

$x=\frac{\sqrt2+\sqrt2-1+1}{2}$ 或 $x=\frac{\sqrt2+1-\sqrt2+1}{2}$

$x=\frac{2\sqrt2}{2}$ 或 $x=\frac{2}{2}$

$x=\sqrt2$ 或 $x=1$

$x$ 的值为 $1$ 和 $\sqrt{2}$。

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更新于: 2022年10月10日

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