利用配方法求解下列二次方程的根（如果存在）。

$\sqrt3x^2 +10x + 7\sqrt3 = 0$

已知

已知二次方程为 $\sqrt3x^2 +10x + 7\sqrt3 = 0$。

要求

我们需要求解该二次方程的根。

解答

$\sqrt3x^2 +10x + 7\sqrt3 = 0$

$\sqrt3(x^2 +\frac{10}{\sqrt3} x +7)=0$  

$x^2+\frac{10}{\sqrt3}x+7=0$

$x^2+2\times \frac{1}{2} \times \frac{10}{\sqrt3} x =-7$

$x^2+2(\frac{10}{2\sqrt3})x=-7$

$x^2+2(\frac{5}{\sqrt3})x=-7$

在等式两边加上 $(\frac{5}{\sqrt3})^2$ 可以配成完全平方。因此，

$x^2+2(\frac{5}{\sqrt3})x+(\frac{5}{\sqrt3})^2=-7+(\frac{5}{\sqrt3})^2$

$(x+\frac{5}{\sqrt3})^2=-7+\frac{25}{3}$      (因为 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$)

$(x+\frac{5}{\sqrt3})^2=\frac{25-7\times3}{3}$

$(x+\frac{5}{\sqrt3})^2=\frac{25-21}{8}$

$x+\frac{5}{\sqrt3}=\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

$x+\frac{5}{\sqrt3}=\pm \frac{2}{\sqrt3}$

$x=-\frac{5}{\sqrt3}+\frac{2}{\sqrt3}$ 或 $x=-\frac{5}{\sqrt3}-\frac{2}{\sqrt3}$

$x=\frac{2-5}{\sqrt3}$ 或 $x=-(\frac{5+2}{\sqrt3})$

$x=\frac{-3}{\sqrt3}$ 或 $x=-(\frac{7}{\sqrt3})$

$x=-\sqrt3$ 或 $x=-\frac{7}{\sqrt3}$

$x$ 的值为 $-\sqrt3$ 和 $-\frac{7}{\sqrt3}$。

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更新时间: 2022年10月10日

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