模糊逻辑 - 传统模糊逻辑复习

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逻辑学最初只是研究区分可靠论证与不可靠论证的方法，现在已经发展成为一个强大而严谨的体系，通过该体系，可以发现真命题，前提是已知其他命题为真。

谓词逻辑

这种逻辑处理谓词，谓词是包含变量的命题。

谓词是在某个特定域上定义的一个或多个变量的表达式。通过为变量赋值或对变量进行量化，可以将包含变量的谓词变成命题。

以下是一些谓词的例子：

• 令E(x, y)表示“x = y”
• 令X(a, b, c)表示“a + b + c = 0”
• 令M(x, y)表示“x与y结婚”

命题逻辑

命题是由声明性语句组成的集合，这些语句具有真值“真”或真值“假”。命题由命题变量和连接词组成。命题变量用大写字母（A、B等）表示。连接词连接命题变量。

以下是一些命题的例子：

• “人是凡人”，返回真值“真”
• “12 + 9 = 3 – 2”，返回真值“假”

以下不是命题：

• “A小于2” - 因为除非我们给A一个特定的值，否则我们无法判断该语句是真还是假。

连接词

在命题逻辑中，我们使用以下五个连接词：

• 或 (∨)
• 与 (∧)
• 否定/非 (¬)
• 蕴含/如果-那么 (→)
• 当且仅当 (⇔)

或 (∨)

两个命题A和B的或运算（写成A∨B）如果命题变量A或B中至少有一个为真，则为真。

真值表如下：

与 (∧)

两个命题A和B的与运算（写成A∧B）如果命题变量A和B都为真，则为真。

真值表如下：

否定 (¬)

命题A的否定（写成¬A）当A为真时为假，当A为假时为真。

真值表如下：

蕴含/如果-那么 (→)

蕴含A→B是命题“如果A，那么B”。如果A为真而B为假，则为假。其余情况为真。

真值表如下：

当且仅当 (⇔)

A⇔B是双条件逻辑连接词，当p和q相同时为真，即两者都为假或两者都为真。

真值表如下：

良构公式

良构公式 (wff) 是满足以下条件之一的谓词：

• 所有命题常量和命题变量都是wff。
• 如果x是一个变量，而Y是一个wff，则∀xY和∃xY也是wff。
• 真值和假值是wff。
• 每个原子公式都是一个wff。
• 连接wff的所有连接词都是wff。

量词

谓词的变量由量词量化。谓词逻辑中有两种类型的量词：

• 全称量词
• 存在量词

全称量词

全称量词指出其范围内的语句对于特定变量的每个值都为真。它用符号∀表示。

∀xP(x) 读作对于x的每个值，P(x)都为真。

示例 - “人是凡人”可以转换成命题形式∀xP(x)。这里，P(x)是表示x为凡人的谓词，论域是所有的人。

存在量词

存在量词指出其范围内的语句对于特定变量的某些值都为真。它用符号∃表示。

∃xP(x) 读作对于x的某些值，P(x)为真。

示例 - “有些人是不诚实的”可以转换成命题形式∃x P(x)，其中P(x)是表示x不诚实的谓词，论域是某些人。

嵌套量词

如果我们使用出现在另一个量词范围内的量词，则称为嵌套量词。

示例

• ∀a∃bP(x,y)，其中P(a,b)表示a+b = 0
• ∀a∀b∀cP(a,b,c)，其中P(a,b)表示a+(b+c) = (a+b)+c

注意 - ∀a∃bP(x,y) ≠ ∃a∀bP(x,y)