如果点$A(1,-2), B(2,3) C(a, 2)$和$D(-4,-3)$构成一个平行四边形。求$a$的值以及以AB为底的平行四边形的高。

已知

点 $A (1, -2), B (2, 3), C (a, 2)$ 和 $D (-4, -3)$ 构成一个平行四边形。

要求

我们必须找到 $a$ 的值以及以 $AB$ 为底的平行四边形的高。

解

从$\mathrm{D}$向$\mathrm{AB}$作垂线，垂足为$\mathrm{P}$。

$\mathrm{DP}$是平行四边形的高。

我们知道，

平行四边形的对角线互相平分。
这意味着，

$AC$ 的中点 = $BD$ 的中点

连接点$\left(x_{1}, y_{1}\right)$和$\left(x_{2}, y_{2}\right)$的线段的中点是$(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2})$

$(\frac{1+a}{2}, \frac{-2+2}{2})=(\frac{2-4}{2}, \frac{3-3}{2})$

比较后，我们得到：

$\Rightarrow \frac{1+a}{2}=\frac{-2}{2}=-1$

$\Rightarrow 1+a=-2$

$\Rightarrow a=-3$

所需的$a$值为$-3$。

我们知道，

对角线将三角形分成两个面积相等的三角形。

这意味着，

平行四边形 $ABCD$ 的面积 = 三角形 $ABC$ 的面积 + 三角形 $ADC$ 的面积。

$=2\times$ 三角形 $ABC$ 的面积

我们知道，

顶点为 $(x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)$ 的三角形的面积由以下公式给出：

三角形面积 $\Delta=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$

因此，

三角形$ABC$的面积=$\frac{1}{2}[1(3-2)+2(2+2)+(-3)(-2-3)]$

$=\frac{1}{2}[1(1)+(2)(4)+(-3)(-5)]$

$=\frac{1}{2}[1+8+15]$

$=\frac{1}{2} \times (24)$

$=12$ 平方单位。

因此，

平行四边形 $ABCD$ 的面积 $=2\times 12=24$ 平方单位。

平行四边形的面积 = 底 $\times$ 高

高 = 面积 $\div$ 底

$DP=\frac{24}{AB}$

根据距离公式，我们得到：

$AB=\sqrt{(2-1)^2+(3+2)^2}$

$=\sqrt{1^2+5^2}$

$=\sqrt{1+25}$

$=\sqrt{26}$

因此，

$DP=\frac{24}{\sqrt{26}}$

$=\frac{24\times\sqrt{26}}{\sqrt{26}\times\sqrt{26}}$

$=\frac{24\sqrt{26}}{26}$

$=\frac{12\sqrt{26}}{13}$

以 $AB$ 为底的平行四边形的高是 $\frac{12\sqrt{26}}{13}$。  

教程点

更新于：2022年10月10日

53 次浏览

开启你的 职业生涯

完成课程获得认证

开始学习