气体动理论推导

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简介

这种气体理论描述了包含在某些容器中的气体的行为。作为分子或气体的粒子始终处于随机运动中，因为它们不断移动并彼此碰撞，并且还与容器碰撞。此外，容器内存在一些压力和温度。

分子获得的路径是直的，该路径被称为平均自由程。碰撞后，分子会立即与其他分子碰撞，因此始终保持速度。

气体动理论

气体包含大量大小可忽略不计的粒子，称为分子。这些分子处于持续或恒定运动或随机运动状态。在此随机运动过程中，分子以一定速度连续运动以及它们所放置的容器或容器的壁。碰撞是如此瞬时。

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假设

• 动能 (KE) 和动量 (P) 将守恒。

• 气体分子的尺寸可以忽略不计（近似为零）。

• 气体分子之间没有吸引力或排斥力。

• 气体由大量微小粒子组成，这些粒子在所有可能的方向上随机移动

• 质心处于静止状态

• 分子除了在碰撞过程中不相互施加力或对容器壁施加力。

• 两个分子之间的碰撞是完全弹性的

• 服从牛顿运动定律的气体分子。

推导

图 1：分子在立方体中的运动

考虑一个包含 n 个原子或分子气体的立方体容器，m 是气体中每个分子的质量，l 是立方体每一侧的长度。

分子的动量变化，$\mathrm{\Delta P=P_2-P_1}$

$\mathrm{\Delta P=mv_x-(-mv_x)=2mv_x}$

连续撞击的时间，

$\mathrm{Time,\:t=\frac{Distance}{Velocity}=\frac{2A}{v_x}}$

作用在壁上的力，

$\mathrm{Force,\:F=\frac{Change\:in \:momentum}{change\:in\:time}=\frac{\Delta P}{\Delta t}=\frac{2mv_x}{\frac{2A}{v_x}}=\frac{mv_x^{2}}{l}}$

现在，$\mathrm{Pressure,\:P=\frac{force}{area}=\frac{\frac{mv_x^{2}}{l}}{l^2}=\frac{mv_x^{2}}{l^3}}$

$\mathrm{P=\frac{m}{l^2}(v_{x1}^2+v_{x2}^2+v_{x3}^2)}$

$\mathrm{P=\frac{m}{l^2}(Nv_x^{2})}$

$\mathrm{P=\frac{mNv_x^{2}}{v}}$

$\mathrm{{As\:v_x^{2}=v_y^{2}=v_z^{2}}}$ 或我们写 $\mathrm{v^2=3v_x^{2}}$

$\mathrm{v_x^{2}=\frac{1}{3}v^2}$

$\mathrm{PV=\frac{1}{3}mNv^2.......….(1)}$

气体分子的平均动能

正如我们从理想气体方程中所知

$\mathrm{PV=nRT ........….(2)}$

联立方程 (1) 和 (2)，我们得到

$\mathrm{\frac{1}{3}mV^2=nRT}$

乘以 2 并除以 2

$\mathrm{nRT=\frac{1}{2}\frac{2}{3}mv^2}$

$\mathrm{\frac{1}{2}mv^2=\frac{3}{2}\frac{nRT}{N}}$

$\mathrm{\frac{1}{2}mv^2=\frac{3}{2}\frac{RT}{\frac{N}{n}}}$

N - 气体分子总数

n - 气体的摩尔数

$\mathrm{\frac{1}{2}mv^2=\frac{3}{2}\frac{RT}{N_A}\:\:\:\:(N_A=\frac{N}{n})}$

$\mathrm{N_A}$ - 阿伏加德罗常数

R - 普适气体常数

T - 温度

m - 质量

v - 速度

阿伏加德罗常数是一摩尔气体中存在的分子数。

因此，气体的平均动能由下式给出

$\mathrm{K.E=\frac{3}{2}kT\:\:\:\:\:(k=\frac{R}{N_A})}$

k - 玻尔兹曼常数

对于单原子分子，总内能由下式给出

$\mathrm{E_{Total}=\frac{3}{2} PV}$

此外，$\mathrm{E_{Total}=\frac{3}{2} NkT}$

$\mathrm{E_{Total}=\frac{3}{2} nRT}$

动能的意义

通过了解温度，我们可以直接计算出气体分子的平均动能，因为温度与气体分子的动能成正比。

任何气体的分子或原子都被认为是，但是是的，气体被视为理想气体。

气体动理论有助于理解宏观参数（如压力、体积、温度）或微观参数（如动能、动量、速度等）以及粒子的反之亦然。

结论

气体动理论有助于理解粒子的宏观性质或微观性质。通过了解温度，我们可以轻松找到平均动能，因为动能与温度成正比。所有这些都将在理想气体下进行研究。

常见问题

Q1. 四个滚动的球的速度分别为 $\mathrm{1ms^{-1},2ms^{-1},2ms^{-1},\:and \:4ms^{-1}}$。它们的均方根速度是多少？

答：众所周知，$\mathrm{v_{rms}=\sqrt{\frac{v_1^{2}+v_1^{2}+v_1^{2}+v_1^{2}}{4}}}$

$\mathrm{v_{rms}=\sqrt{\frac{1+4+9+16}{4}}}$

$\mathrm{v_{rms}=2.5m/s(大约)}$

Q2. 平均动能取决于哪些因素？

答：温度是唯一影响动能的因素，因为温度与容器或容器中所含粒子的动能成正比。

Q3. 温度低于绝对零度是否可能？

答：否，温度不能低于绝对零度。我们可以这样说，因为如果温度变为零，则均方速度也将为零，并且我们知道分子不能为负数，所以这是不可能的。

Q4. 容器包含 1 摩尔温度为 T1 的气体，压力为 P。包含 1 摩尔相同气体且温度为 2T 的相同容器的压力是多少？

答：众所周知，理想气体方程

$\mathrm{PV=nRT}$

$\mathrm{\frac{PV}{T}=nR}$ 或常数

所以 $\mathrm{\frac{P_1V_1}{T_1}=\frac{P_2V_2}{T_2}}$

$\mathrm{P_{2}=\frac{P_1V_1}{T_1}\times \frac{T_2}{v_2}}$

$\mathrm{P_{2}=\frac{PV}{T}\times \frac{2T}{v}}$ (由于是相同的容器，我们有，$\mathrm{V_1=V_2=V}$)

$\mathrm{P_{2}=2P}$

因此，当温度加倍时，压力也加倍。

Q5.“真实气体在非常低的压力和高温下表现为理想气体”。解释这个说法。

答：在理想气体中，分子体积为零，分子间力也为零。

在低压 (P) 下，气体的量远高于分子体积。因此，与气体体积相比，分子体积可以忽略不计。在高温 (T) 下，分子或原子的能量变得非常高，即可以忽略分子间力的影响。因此，在低压和高温下，气体表现为理想气体。

Q6. 一个装有 He 气体的容器包含 2 摩尔温度为 10°C 的气体。计算原子的均方根速度。假设氦气表现为理想气体。

答：已知：分子数，n = 2

温度，T = 273 + 10 = 283°C

普适气体常数值，R = 8.31 J/mol

正如我们所知，

氦 (He) 的分子质量 $\mathrm{= 4\: g/mol = 4\times\:10^{-3} \:kg/mol}$ 均方根速度，

$\mathrm{v_{rms}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}}$

$\mathrm{v_{rms}=\sqrt{\frac{3\times 8.31 \times 283}{4\times 10^{-3}}}}$

$\mathrm{v_{rms}=1.76 \times \:10^6\: m/s}$

因此，氦气在 10°C 时的均方根速度为 $\mathrm{1.76 \times \:10^{6}\: m/s}$