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法律研究一个风筝，形状为正方形，对角线长 32 厘米，还有一个等腰三角形，底边长 8 厘米，两腰各长 6 厘米。风筝由三种不同的颜色制作而成，如图所示。每种颜色纸张的使用量是多少？
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已知：
一个风筝，形状为正方形，对角线长 $32\ cm$，还有一个等腰三角形，底边长 $8\ cm$，两腰各长 $6\ cm$。风筝由三种不同的颜色制作而成，如图所示。
要求：
求每种颜色纸张的使用量。
解答
假设风筝由正方形 $ABCD$ 和等腰三角形 $\vartriangle DEF$ 组成。
已知，$\vartriangle DEF$ 的三条边长为 $DE=DF=6\ cm$ 和 $EF=8\ cm$，正方形 $ABCD$ 的对角线长为 $32\ cm$。
我们知道，
正方形的对角线互相平分且垂直。
$OA=OB=OC=OD=\frac{32}{2}=16\ cm$
$AO$ 垂直于 $BC$ 且 $DO$ 垂直于 $BC$。
区域 I 的面积 = $\vartriangle ABC$ 的面积 = 直角三角形的面积 = $\frac{1}{2}\times 底边\times 高 = \frac{1}{2}\times BC\times OA$
区域 I 的面积 = $\frac{1}{2}\times 32\times 16=256\ cm^2$
同样，区域 II 的面积 $=256\ cm^2$
对于区域 III，
现在，在 $\vartriangle DEF$ 中
设三条边长为 $a=6\ cm,\ b=6\ cm$ 和 $c=8\ cm$
三角形半周长，$s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{( 6+6+8)}{2}\ cm=10\ cm$
使用海伦公式，
区域 III（三角形）的面积 = $\sqrt{s( s-a)( s-b)( s-c)}$
$=\sqrt{10(10-6)(10-6)(10-8)}$
$=\sqrt{10\times 4\times 4\times 2}$
$=\sqrt{2\times 5\times 4\times 4\times 2}$
$=\sqrt{2\times 2\times 4\times 4\times 5}$
$=2\times 4\sqrt{5}$
$=8\times 2.24=17.92\ cm^2$
因此，制作风筝时使用颜色 I 的纸张面积为 $256\ cm^2$
制作风筝时使用颜色 II 的纸张面积为 $256\ cm^2$
制作风筝时使用颜色 III 的纸张面积为 $17.92\ cm^2$。
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