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法律研究一个木制笔筒，形状为长方体，带有四个锥形凹槽和一个立方体凹槽，分别用于放置钢笔和图钉。长方体的尺寸为\( 10 \mathrm{~cm} \times 5 \mathrm{~cm} \times 4 \mathrm{~cm} \)。每个锥形凹槽的半径为\( 0.5 \mathrm{~cm} \)，深度为\( 2.1 \mathrm{~cm} \)。立方体凹槽的边长为\( 3 \mathrm{~cm} \)。求整个笔筒的木材体积。
已知
一个木制笔筒，形状为长方体，带有四个锥形凹槽，用于放置钢笔。
长方体的尺寸为\( 10 \mathrm{~cm} \times 5 \mathrm{~cm} \times 4 \mathrm{~cm} \)。
每个锥形凹槽的半径为\( 0.5 \mathrm{~cm} \)，深度为\( 2.1 \mathrm{~cm} \)。
立方体凹槽的边长为\( 3 \mathrm{~cm} \)。
求解
我们需要求出整个笔筒的木材体积。
解题步骤
长方体笔筒的长度 $l = 10\ cm$
长方体笔筒的宽度 $b = 5\ cm$
长方体笔筒的高度 $h = 4\ cm$
因此，
长方体笔筒的体积 $= lbh$
$= 10 \times 5 \times 4$
$= 200\ cm^3$
锥形凹槽的半径 $r = 0.5\ cm$
锥形凹槽的高度 $h_1 = 2.1\ cm$
锥形凹槽的体积 $=\frac{1}{3} \pi r^2 h_1$
$=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (0.5)^2 \times 2.1$
$=\frac{22 \times 5 \times 5}{1000}$
$=\frac{22}{40}$
$=\frac{11}{20}$
$=0.55 \mathrm{~cm}^{3}$
立方体凹槽的边长 $a=3 \mathrm{~cm}$
立方体凹槽的体积 $=(a)^{3}$
$=(3)^{3}$
$=27 \mathrm{~cm}^{3}$
四个锥形凹槽的总体积 $=4 \times$ 锥形凹槽的体积
$=4 \times \frac{11}{20}$
$=\frac{11}{5} \mathrm{~cm}^{3}$
整个笔筒的木材体积 $=$ 长方体笔筒的体积 $-$ 4个锥形凹槽的总体积 $-$ 立方体凹槽的体积
$=200-\frac{11}{5}-27$
$=200-\frac{146}{5}$
$=200-29.2$
$=170.8 \mathrm{~cm}^{3}$
整个笔筒的木材体积为 \( 170.8 \mathrm{~cm}^{3} \)。
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