一座高 $1.6 \mathrm{~m}$ 的雕像矗立在底座的顶部。从地面上的一点，雕像顶部的仰角为 $60^{\circ}$，从同一点，底座顶部的仰角为 $45^{\circ}$。求底座的高度。

已知

一座高 $1.6 \mathrm{~m}$ 的雕像矗立在底座的顶部。

从地面上的一点，雕像顶部的仰角为 $60^{\circ}$，从同一点，底座顶部的仰角为 $45^{\circ}$。

要求

我们需要求出底座的高度。

解：  

设底座的高度为 $AB$，雕像的高度为 $BC$。

设观察点为 $D$。

根据图形，

$\mathrm{BC}=1.6 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{CDA}=60^{\circ}, \angle \mathrm{BDA}=45^{\circ}$

设底座的高度为 $\mathrm{AB}=h \mathrm{~m}$，底座到点 $D$ 的距离为 $\mathrm{DA}=x \mathrm{~m}$。

这意味着，

$\mathrm{AC}=1.6+h \mathrm{~m}$

我们知道，

$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$

$=\frac{\text { BA }}{DA}$

$\Rightarrow \tan 45^{\circ}=\frac{h}{x}$

$\Rightarrow 1=\frac{h}{x}$

$\Rightarrow x(1)=h \mathrm{~m}$

$\Rightarrow x=h \mathrm{~m}$.........(i)

同样地，

$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$

$=\frac{\text { AC }}{DA}$

$\Rightarrow \tan 60^{\circ}=\frac{1.6+h}{x}$

$\Rightarrow \sqrt3=\frac{1.6+x}{x}$              [根据 (i)]

$\Rightarrow x\sqrt3=1.6+x \mathrm{~m}$

$\Rightarrow x(\sqrt3-1)=1.6 \mathrm{~m}$            

$\Rightarrow x=\frac{1.6}{\sqrt3-1)} \mathrm{~m}$

$\Rightarrow x=\frac{1.6\times(\sqrt3+1)}{(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)} \mathrm{~m}$

$\Rightarrow x=\frac{1.6(\sqrt3+1)}{3-1} \mathrm{~m}$

$\Rightarrow x=\frac{1.6(\sqrt3+1)}{2} \mathrm{~m}$

$\Rightarrow x=\frac{4(\sqrt3+1)}{5} \mathrm{~m}$

因此，底座的高度为 $\frac{4(\sqrt3+1)}{5} \mathrm{~m}$。

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更新于: 2022年10月10日

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