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法律研究从一栋\( 7 \mathrm{~m} \)高的建筑物顶部，测得一电缆塔顶部的仰角为\( 60^{\circ} \)，测得其底部的俯角为\( 45^{\circ} \)。确定塔的高度。
已知
从一栋\( 7 \mathrm{~m} \)高的建筑物顶部，测得一电缆塔顶部的仰角为\( 60^{\circ} \)，测得其底部的俯角为\( 45^{\circ} \)。
要求
我们必须确定塔的高度。
解:
设$AB$为建筑物的高度，$CD$为电缆塔的高度。
设点$A$为观察点。
从图中，
$\mathrm{AB}=\mathrm{DE}=7 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{EAD}=45^{\circ}, \angle \mathrm{CAE}=60^{\circ}$
设电缆塔的高度为$\mathrm{CD}=h \mathrm{~m}$，建筑物与塔之间的距离为$\mathrm{BD}=\mathrm{AE}=x \mathrm{~m}$。
这意味着，
$\mathrm{CE}=h-7 \mathrm{~m}$
我们知道，
$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$
$=\frac{\text { AB }}{BD}$
$\Rightarrow \tan 45^{\circ}=\frac{7}{x}$
$\Rightarrow 1=\frac{7}{x}$
$\Rightarrow x=7 \mathrm{~m}$.........(i)
同样地，
$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$
$=\frac{\text { CE }}{AE}$
$\Rightarrow \tan 60^{\circ}=\frac{h-7}{x}$
$\Rightarrow \sqrt3=\frac{h-7}{7}$ [来自 (i)]
$\Rightarrow 7\sqrt3=h-7 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=7\sqrt3+7 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=7(\sqrt3+1) \mathrm{~m}$
因此，塔的高度为$7(\sqrt3+1) \mathrm{~m}$。
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