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法学从一座 7 米高的建筑物顶部，测得电缆塔顶部的仰角为 60°，其底部的俯角为 45°。确定塔的高度。
已知
从一座 \( 7 \mathrm{~m} \) 高的建筑物顶部，测得电缆塔顶部的仰角为 \( 60^{\circ} \)，其底部的俯角为 \( 45^{\circ} \)。
要求
我们需要确定塔的高度。
解:
设 AB 为建筑物的高度，CD 为电缆塔的高度。
设 A 点为观察点。
根据图示：
$\mathrm{AB}=\mathrm{DE}=7 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{EAD}=45^{\circ}, \angle \mathrm{CAE}=60^{\circ}$
设电缆塔的高度为 $\mathrm{CD}=h \mathrm{~m}$，建筑物和塔之间的距离为 $\mathrm{BD}=\mathrm{AE}=x \mathrm{~m}$。
这意味着：
$\mathrm{CE}=h-7 \mathrm{~m}$
我们知道：
$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$
$=\frac{\text { AB }}{BD}$
$\Rightarrow \tan 45^{\circ}=\frac{7}{x}$
$\Rightarrow 1=\frac{7}{x}$
$\Rightarrow x=7 \mathrm{~m}$.........(i)
同样地：
$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$
$=\frac{\text { CE }}{AE}$
$\Rightarrow \tan 60^{\circ}=\frac{h-7}{x}$
$\Rightarrow \sqrt3=\frac{h-7}{7}$ [根据 (i)]
$\Rightarrow 7\sqrt3=h-7 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=7\sqrt3+7 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=7(\sqrt3+1) \mathrm{~m}$
因此，塔的高度为 $7(\sqrt3+1) \mathrm{~m}$。
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