从塔底仰望建筑物顶部，仰角为 $30^o$；从建筑物底部仰望塔顶，仰角为 $60^o$。如果塔高 $50\ m$，求建筑物的高度。

已知

从塔底仰望建筑物顶部，仰角为 $30^{\circ}$，从建筑物底部仰望塔顶，仰角为 $60^{\circ}$。

塔高 $50 \mathrm{~m}$。

求解

我们需要求出建筑物的高度。

解：  

设塔高为 $AB$，建筑物高为 $CD$。

根据图示：

$\mathrm{AB}=50 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{BCA}=60^{\circ}, \angle \mathrm{DAC}=30^{\circ}$

设建筑物高度为 $\mathrm{CD}=h \mathrm{~m}$，建筑物与塔之间的距离为 $\mathrm{CA}=x \mathrm{~m}$。

我们知道：

$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$

$=\frac{\text { AB }}{CA}$

$\Rightarrow \tan 60^{\circ}=\frac{50}{x}$

$\Rightarrow \sqrt3=\frac{50}{x}$

$\Rightarrow x=\frac{50}{\sqrt3} \mathrm{~m}$.........(i)

同样地：

$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$

$=\frac{\text { DC }}{AC}$

$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{h}{x}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}=\frac{h}{\frac{50}{\sqrt3}}$              [由 (i) 式]

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}\times\frac{50}{\sqrt3}=h \mathrm{~m}$

$\Rightarrow h=\frac{50}{3} \mathrm{~m}$            

因此，建筑物的高度为 $\frac{50}{3} \mathrm{~m}$。  

教程点

更新于：2022年10月10日

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