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法律学从地面上一点 \( X \) 观察一垂直塔 \( PQ \) 的顶部的仰角为 \( 60^{\circ} \)。在 \( X \) 垂直上方 \( 40 \) 米处的一点 \( Y \)，塔顶的仰角为 \( 45^{\circ} \)。计算塔的高度。
已知
从地面上一点 \( X \) 观察一垂直塔 \( PQ \) 的顶部的仰角为 \( 60^{\circ} \)。
在 \( X \) 垂直上方 \( 40 \) 米处的一点 \( Y \)，塔顶的仰角为 \( 45^{\circ} \)。
要求
我们需要计算塔的高度。
解：
根据图形，
$\mathrm{XY}=40 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{QXP}=60^{\circ}, \angle \mathrm{QYR}=45^{\circ}$
设塔的高度为 $\mathrm{PQ}=h \mathrm{~m}$，塔与点 $X$ 之间的距离为 $\mathrm{XP}=x \mathrm{~m}$。
这意味着，
$\mathrm{YR}=x \mathrm{~m}$
$\mathrm{PR}=40 \mathrm{~m}$
$\mathrm{QR}=h-40 \mathrm{~m}$
我们知道，
$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$
$=\frac{\text { QR }}{YR}$
$\Rightarrow \tan 45^{\circ}=\frac{h-40}{x}$
$\Rightarrow 1=\frac{h-40}{x}$
$\Rightarrow x=h-40 \mathrm{~m}$...........(i)
类似地，
$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$
$=\frac{\text { PQ }}{XP}$
$\Rightarrow \tan 60^{\circ}=\frac{h}{x}$
$\Rightarrow \sqrt3=\frac{h}{h-40}$ [根据 (i)]
$\Rightarrow (h-40)\sqrt3=h \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h(\sqrt3-1)=40\sqrt3 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=\frac{40(1.732)}{1.732-1} \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=\frac{69.28}{0.732} \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=94.64 \mathrm{~m}$
因此，塔的高度为 $94.64 \mathrm{~m}$.
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