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法律研究一座电视塔垂直竖立在河岸上。从河对岸一个正对塔的位置观测，塔顶的仰角为 60°。从同一河岸上，距该观测点 20 m 的另一个观测点观测，塔顶的仰角为 30°。求电视塔高度和河宽。
已知
一座电视塔垂直竖立在河岸上。从河对岸一个正对塔的位置观测，塔顶的仰角为 60°。从同一河岸上，距该观测点 20 m 的另一个观测点观测，塔顶的仰角为 30°。
待求
我们必须求出电视塔高度和河宽。
解：
设 \(AB\) 为塔高度，\(BC\) 为河宽。
设点 \(C\) 为河对岸观测点，点 \(D\) 为同一河岸上距观测点 \(C\) \(20 \mathrm{~m}\) 处。
根据图形，
$\mathrm{CD}=20 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{ADB}=30^{\circ}, \angle \mathrm{ACB}=60^{\circ}$
设塔高度为 $\mathrm{AB}=h \mathrm{~m}$，河宽为 $\mathrm{BC}=x \mathrm{~m}$。
这意味着，
$\mathrm{DB}=20+x \mathrm{~m}$
我们知道，
$\tan \theta=\frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$
$=\frac{\text{AB}}{\text{BC}}$
$\Rightarrow \tan 60^{\circ}=\frac{h}{x}$
$\Rightarrow \sqrt3=\frac{h}{x}$
$\Rightarrow x(\sqrt3)=h \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=x\sqrt3 \mathrm{~m}$.........(i)
类似地，
$\tan \theta=\frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$
$=\frac{\text{AB}}{\text{DB}}$
$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{h}{x+20}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}=\frac{x\sqrt3}{x+20}$ [来源：(i)]
$\Rightarrow x+20=x\sqrt3(\sqrt3) \mathrm{~m}$
$\Rightarrow 3x-x=20 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x=\frac{20}{2} \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x=10 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=10\sqrt3 \mathrm{~m}$
因此，塔的高为 $10\sqrt3 \mathrm{~m}$，河的宽度为 $10 \mathrm{~m}$.
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