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法律研究从与塔底同一水平面上的一点测得塔的仰角为 \( 30^{\circ} \)。 向塔底前进 150 米后，塔的仰角变为 \( 60^{\circ} \)。证明塔高为 \( 129.9 \) 米（使用 \( \sqrt{3}=1.732 \)）。
已知
从与塔底同一水平面上的一点测得塔的仰角为 \( 30^{\circ} \)。 向塔底前进 150 米后，塔的仰角变为 \( 60^{\circ} \)。
要求
我们必须证明塔高为 \( 129.9 \) 米。
解：
设 AB 为塔，CD 为从 C 点开始向塔底移动的距离。
从图中可知：
$\mathrm{CD}=150 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{ACB}=30^{\circ}, \angle \mathrm{ADB}=60^{\circ}$
设塔高为 $\mathrm{AB}=h \mathrm{~m}$，C 点与塔底之间的距离为 $\mathrm{BC}=x \mathrm{~m}$。
这意味着：
$\mathrm{DB}=x-150 \mathrm{~m}$
我们知道：
$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$
$=\frac{\text { AB }}{BC}$
$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{h}{x}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}=\frac{h}{x}$
$\Rightarrow x=h(\sqrt3) \mathrm{~m}$
$\Rightarrow x=\sqrt3 h \mathrm{~m}$...........(i)
同样地：
$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$
$=\frac{\text { AB }}{DB}$
$\Rightarrow \tan 60^{\circ}=\frac{h}{x-150}$
$\Rightarrow \sqrt3=\frac{h}{x-150}$
$\Rightarrow (x-150)\sqrt3=h \mathrm{~m}$
$\Rightarrow (\sqrt3 h-150)\sqrt3=h \mathrm{~m}$ [根据 (i)]
$\Rightarrow 3h-150\sqrt3=h \mathrm{~m}$
$\Rightarrow 2h=150\sqrt3 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=\frac{150\times1.732}{2}=129.9 \mathrm{~m}$
因此，塔高为$129.9 \mathrm{~m}$。
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