一座电视塔垂直矗立在一条运河的河岸上。从河对岸与塔底正对的一点，塔顶的仰角为$60^o$。从该点沿连接该点与塔底的直线前行$20\ m$到另一点，塔顶的仰角为$30^o$（见图）。求塔高和运河的宽度。
"

已知

一座电视塔垂直矗立在一条运河的河岸上。从河对岸与塔底正对的一点，塔顶的仰角为$60^o$。从该点沿连接该点与塔底的直线前行$20\ m$到另一点，塔顶的仰角为$30^o$。

要求

我们需要求出塔高和运河的宽度。

解：  

设$AB$为塔高，$BC$为运河的宽度。

设点$C$为河对岸的观察点，点$D$为从点$C$沿同一条河岸前行$20 \mathrm{~m}$的位置。

从图中可知，

$\mathrm{CD}=20 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{ADB}=30^{\circ}, \angle \mathrm{ACB}=60^{\circ}$

设塔高为$\mathrm{AB}=h \mathrm{~m}$，运河宽度为$\mathrm{BC}=x \mathrm{~m}$。

这意味着，

$\mathrm{DB}=20+x \mathrm{~m}$

我们知道，

$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$

$=\frac{\text { AB }}{BC}$

$\Rightarrow \tan 60^{\circ}=\frac{h}{x}$

$\Rightarrow \sqrt3=\frac{h}{x}$

$\Rightarrow x(\sqrt3)=h \mathrm{~m}$

$\Rightarrow h=x\sqrt3 \mathrm{~m}$.........(i)

类似地，

$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$

$=\frac{\text { AB }}{DB}$

$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{h}{x+20}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}=\frac{x\sqrt3}{x+20}$              [由 (i) 式得]

$\Rightarrow x+20=x\sqrt3(\sqrt3) \mathrm{~m}$

$\Rightarrow 3x-x=20 \mathrm{~m}$            

$\Rightarrow x=\frac{20}{2} \mathrm{~m}$

$\Rightarrow x=10 \mathrm{~m}$

$\Rightarrow h=10\sqrt3 \mathrm{~m}$

因此，塔高为 $10\sqrt3 \mathrm{~m}$，运河宽度为  $10 \mathrm{~m}$。

Tutorialspoint

更新时间： 2022年10月10日

117 次浏览

开启你的职业生涯

完成课程获得认证

开始学习