从一座高 $100 \mathrm{~m}$ 的塔的顶部和底部观察到一块岩石顶部的仰角分别为 $30^{\circ}$ 和 $45^{\circ}$。求岩石的高度。

已知

从一座高 $100 \mathrm{~m}$ 的塔的顶部和底部观察到一块岩石顶部的仰角分别为 $30^{\circ}$ 和 $45^{\circ}$。

要求

我们需要求出岩石的高度。

解:  

设 $AB$ 为高塔，$CD$ 为岩石的高度。

设 $B, A$ 为塔的顶部和底部。

从图中可知，

$\mathrm{AB}=\mathrm{CE}=100 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{DBE}=30^{\circ}, \angle \mathrm{DAC}=45^{\circ}$

设岩石的高度为 $\mathrm{CD}=h \mathrm{~m}$，塔与岩石之间的距离为 $\mathrm{AC}=\mathrm{BE}=x \mathrm{~m}$。

这意味着，

$\mathrm{DE}=h-100 \mathrm{~m}$

我们知道，

$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$

$=\frac{\text { DC }}{AC}$

$\Rightarrow \tan 45^{\circ}=\frac{h}{x}$

$\Rightarrow 1(x)=h$

$\Rightarrow x=h \mathrm{~m}$...................(i)

类似地，

$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$

$=\frac{\text { DE }}{BE}$

$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{h-100}{x}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}=\frac{h-100}{h}$                              [由 (i) 得]

$\Rightarrow h=(h-100)\sqrt3 \mathrm{~m}$

$\Rightarrow 100\sqrt3=h(\sqrt3-1) \mathrm{~m}$

$\Rightarrow 100(1.73)=h(1.73-1) \mathrm{~m}$

$\Rightarrow h=\frac{173}{0.73} \mathrm{~m}$

$\Rightarrow h=236.5 \mathrm{~m}$

因此，岩石的高度为 $236.5 \mathrm{~m}$.   

教程点

更新时间: 2022年10月10日

95 次浏览

开启你的 职业生涯

完成课程获得认证

开始学习