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法律研究从一座高 \( 100 \mathrm{~m} \) 的塔的顶部和底部观察到一块岩石顶部的仰角分别为 \( 30^{\circ} \) 和 \( 45^{\circ} \)。求岩石的高度。
已知
从一座高 \( 100 \mathrm{~m} \) 的塔的顶部和底部观察到一块岩石顶部的仰角分别为 \( 30^{\circ} \) 和 \( 45^{\circ} \)。
要求
我们需要求出岩石的高度。
解:
设 $AB$ 为高塔，$CD$ 为岩石的高度。
设 $B, A$ 为塔的顶部和底部。
从图中可知，
$\mathrm{AB}=\mathrm{CE}=100 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{DBE}=30^{\circ}, \angle \mathrm{DAC}=45^{\circ}$
设岩石的高度为 $\mathrm{CD}=h \mathrm{~m}$，塔与岩石之间的距离为 $\mathrm{AC}=\mathrm{BE}=x \mathrm{~m}$。
这意味着，
$\mathrm{DE}=h-100 \mathrm{~m}$
我们知道，
$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$
$=\frac{\text { DC }}{AC}$
$\Rightarrow \tan 45^{\circ}=\frac{h}{x}$
$\Rightarrow 1(x)=h$
$\Rightarrow x=h \mathrm{~m}$...................(i)
类似地，
$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$
$=\frac{\text { DE }}{BE}$
$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{h-100}{x}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}=\frac{h-100}{h}$ [由 (i) 得]
$\Rightarrow h=(h-100)\sqrt3 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow 100\sqrt3=h(\sqrt3-1) \mathrm{~m}$
$\Rightarrow 100(1.73)=h(1.73-1) \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=\frac{173}{0.73} \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=236.5 \mathrm{~m}$
因此，岩石的高度为 $236.5 \mathrm{~m}$.
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