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法学从一栋多层建筑的顶部观察一栋 8 米高的建筑物顶部和底部的俯角分别为 30° 和 45°。求多层建筑的高度和两栋建筑物之间的距离。
已知
从一栋多层建筑的顶部观察一栋 8 米高的建筑物顶部和底部的俯角分别为 30° 和 45°。
待求
我们需要求出多层建筑的高度和两栋建筑物之间的距离。
解：
设 AB 为高楼，CD 为多层建筑的高度。
设点 D 为观察点。
由图可知：
AB=8 m, ∠DAE=30°, ∠DBC=45°
设多层建筑的高度为 CD=h m，两栋建筑物之间的距离为 AE=BC=x m。
这意味着：
DE=h-8 m
我们知道：
tan θ = 对边 / 邻边
= DC / BC
=> tan 45° = h / x
=> 1(x) = h
=> h = x m..........(i)
同样地：
tan θ = 对边 / 邻边
= DE / AE
=> tan 30° = (h-8) / x
=> 1/√3 = (h-8) / h [由 (i)]
=> h = (h-8)√3 m
=> h = h√3 - 8√3 m
=> h(√3-1) = 8√3 m
=> h = 8√3 / (√3-1) m
=> h = [8√3 / (√3-1)] * (√3+1) / (√3+1) m
=> h = 8√3(√3+1) / ( (√3)² - 1²) m
=> h = 8(3+√3) / 2 m
=> h = 4(3+√3) m
=> x = 4(3+√3) m
因此，多层建筑的高度为 4(3+√3) m，两栋建筑物之间的距离为 4(3+√3) m。
更新于：2022年10月10日
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