从一栋高$AB, 60 \mathrm{~m}$的建筑物顶部，观察到一垂直灯柱$CD$的顶部和底部的俯角分别为$30^{\circ}$和$60^{\circ}$。求建筑物和灯柱高度的差。

已知

从一栋高$A B, 60 \mathrm{~m}$的建筑物顶部，观察到一垂直灯柱$C D$的顶部和底部的俯角分别为$30^{\circ}$和$60^{\circ}$。

要求

我们需要求建筑物和灯柱高度的差。

解:  

根据图示，

$\mathrm{AB}=60 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{BDE}=30^{\circ}, \angle \mathrm{BCA}=60^{\circ}$

设$A B$和$C D$之间的水平距离为$\mathrm{AC}=x \mathrm{~m}$，灯柱的高度为$\mathrm{CD}=h \mathrm{~m}$。

这意味着，

$\mathrm{AE}=\mathrm{CD}=h \mathrm{~m}$

$\mathrm{DE}=\mathrm{CA}=x \mathrm{~m}$

$\mathrm{BE}=60-h \mathrm{~m}$

我们知道，

$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$

$=\frac{\text { BE }}{DE}$

$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{60-h}{x}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}=\frac{60-h}{x}$

$\Rightarrow x=(60-h)\sqrt3 \mathrm{~m}$............(i)

类似地，

$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$

$=\frac{\text { BA }}{CA}$

$\Rightarrow \tan 60^{\circ}=\frac{60}{x}$

$\Rightarrow \sqrt3=\frac{60}{(60-h)\sqrt3}$                  [根据 (i)]

$\Rightarrow [(60-h)\sqrt3]\sqrt3=60 \mathrm{~m}$

$\Rightarrow (60-h)3=60 \mathrm{~m}$

$\Rightarrow 60-h=20 \mathrm{~m}$

$\Rightarrow h=60-20 \mathrm{~m}$

$\Rightarrow h=40 \mathrm{~m}$

$\Rightarrow x=(60-40)(1.73)=20(1.73)=34.64 \mathrm{~m}$

$\Rightarrow \mathrm{AB}-\mathrm{CD}=60-40=20 \mathrm{~m}$

因此，建筑物和灯柱高度的差为 $20 \mathrm{~m}$.    

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更新于: 2022年10月10日

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