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法律从灯塔顶端观察到两艘船的俯角，这两艘船位于灯塔的同一侧，分别为\( 45^{\circ} \)和\( 30^{\circ} \)。如果这两艘船相距\( 200 \mathrm{~m} \)，求灯塔的高度。
已知
从灯塔顶端观察到两艘船的俯角，这两艘船位于灯塔的同一侧，分别为\( 45^{\circ} \)和\( 30^{\circ} \)。
这两艘船相距\( 200 \mathrm{~m} \)。
要求
我们需要求出灯塔的高度。
解答：
设灯塔的高度为$AB$，两艘船分别为$C, D$，且$D$在$C$的后面。
根据图示，
$\mathrm{CD}=200 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{BCA}=30^{\circ}, \angle \mathrm{BDA}=45^{\circ}$
设灯塔的高度为$\mathrm{AB}=h \mathrm{~m}$，第一艘船$D$与灯塔的距离为$\mathrm{DA}=x \mathrm{~m}$。
这意味着，
$\mathrm{CA}=200+x \mathrm{~m}$
我们知道，
$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$
$=\frac{\text { AB }}{DA}$
$\Rightarrow \tan 45^{\circ}=\frac{h}{x}$
$\Rightarrow 1=\frac{h}{x}$
$\Rightarrow x=h \mathrm{~m}$.........(i)
类似地，
$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$
$=\frac{\text { BA }}{CA}$
$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{h}{200+x}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}=\frac{h}{200+h}$ [根据 (i)]
$\Rightarrow 200+h=h\sqrt3 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow 200=h(\sqrt3-1) \mathrm{~m}$
$\Rightarrow 200=h(1.732-1) \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=\frac{200}{0.732} \mathrm{~m}$
$\Rightarrow h=273.2 \mathrm{~m}$
因此，灯塔的高度为$273.2 \mathrm{~m}$。
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