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法律研究从海平面上一座高 75 米的灯塔顶端观察，两艘船的俯角分别为 30° 和 45°。如果一艘船正好在另一艘船的后面，并且都在灯塔的同一侧，求这两艘船之间的距离。
已知
从一栋 \( 75 \mathrm{~m} \) 高的灯塔顶端观察，两艘船的俯角分别为 \( 30^{\circ} \) 和 \( 45^{\circ} \)。
一艘船正好在另一艘船的后面，并且都在灯塔的同一侧。
要求
我们需要求出这两艘船之间的距离。
解：
设 $AB$ 为高灯塔的高度，$C, D$ 为两艘船，一艘在另一艘的后面。
从图中，
$\mathrm{AB}=75 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{BCA}=30^{\circ}, \angle \mathrm{BDA}=45^{\circ}$
设船 $D$ 与灯塔之间的距离为 $\mathrm{DA}=x \mathrm{~m}$，两艘船之间的距离为 $\mathrm{CD}=y \mathrm{~m}$。
这意味着，
$\mathrm{CA}=x+y \mathrm{~m}$
我们知道，
$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$
$=\frac{\text { AB }}{DA}$
$\Rightarrow \tan 45^{\circ}=\frac{75}{x}$
$\Rightarrow 1=\frac{75}{x}$
$\Rightarrow x=75 \mathrm{~m}$.........(i)
类似地，
$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$
$=\frac{\text { BA }}{CA}$
$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{75}{x+y}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}=\frac{75}{75+y}$ [由 (i) 得]
$\Rightarrow 75+y=75\sqrt3 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow y=75(\sqrt3-1) \mathrm{~m}$
因此，两艘船之间的距离为 $75(\sqrt3-1) \mathrm{~m}$。
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