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法律研究从灯塔顶端，观察到两艘位于其相对两侧的船只的俯角分别为\( \alpha \)和\( \beta \)。如果灯塔的高度为\( h \)米，并且连接两艘船的直线经过灯塔的底部，证明这两艘船之间的距离为\( \frac{h(\tan \alpha+\tan \beta)}{\tan \alpha \tan \beta} \)米。
已知
从灯塔顶端，观察到两艘位于其相对两侧的船只的俯角分别为\( \alpha \)和\( \beta \)。
灯塔的高度为\( h \)米，并且连接两艘船的直线经过灯塔的底部。
要求
我们需要证明这两艘船之间的距离为\( \frac{h(\tan \alpha+\tan \beta)}{\tan \alpha \tan \beta} \)米。
解答
设 $AB$ 为灯塔，$C$ 和 $D$ 为两艘船，它们与 $B$ 的仰角分别为 $\alpha$ 和 $\beta$。
从图中可以看出，
$AB=h \mathrm{~m}$
设 $\mathrm{AC}=x\ m$ 和 $\mathrm{AD}=y\ m$。
在 $\Delta \mathrm{BCA}$ 中，
$\tan \alpha=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$
$=\frac{h}{x}$
$\Rightarrow x=\frac{h}{\tan \alpha}$..........(i)
类似地，
在 $\triangle \mathrm{BDA}$ 中，
$\tan \beta=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}}$
$=\frac{h}{y}$
$\Rightarrow y=\frac{h}{\tan \beta}$.............(ii)
$\mathrm{CD}=x+y$
$=\frac{h}{\tan \alpha}+\frac{h}{\tan \beta}$
$=h(\frac{1}{\tan \alpha}+\frac{1}{\tan \beta}) \mathrm{m}$
$=h \frac{(\tan \beta+\tan \alpha)}{\tan \alpha \tan \beta} \mathrm{m}$
$=\frac{h(\tan \alpha+\tan \beta)}{\tan \alpha \tan \beta} \mathrm{m}$
证毕。
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