从灯塔顶端，观察到两艘位于其相对两侧的船只的俯角分别为$\alpha$和$\beta$。如果灯塔的高度为$h$米，并且连接两艘船的直线经过灯塔的底部，证明这两艘船之间的距离为$\frac{h(\tan \alpha+\tan \beta)}{\tan \alpha \tan \beta}$米。

已知

从灯塔顶端，观察到两艘位于其相对两侧的船只的俯角分别为$\alpha$和$\beta$。

灯塔的高度为$h$米，并且连接两艘船的直线经过灯塔的底部。

要求

我们需要证明这两艘船之间的距离为$\frac{h(\tan \alpha+\tan \beta)}{\tan \alpha \tan \beta}$米。

解答

设 $AB$ 为灯塔，$C$ 和 $D$ 为两艘船，它们与 $B$ 的仰角分别为 $\alpha$ 和 $\beta$。

从图中可以看出，

$AB=h \mathrm{~m}$

设 $\mathrm{AC}=x\ m$ 和 $\mathrm{AD}=y\ m$。

在 $\Delta \mathrm{BCA}$ 中，

$\tan \alpha=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$

$=\frac{h}{x}$

$\Rightarrow x=\frac{h}{\tan \alpha}$..........(i)

类似地，

在 $\triangle \mathrm{BDA}$ 中，

$\tan \beta=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}}$

$=\frac{h}{y}$

$\Rightarrow y=\frac{h}{\tan \beta}$.............(ii)

$\mathrm{CD}=x+y$

$=\frac{h}{\tan \alpha}+\frac{h}{\tan \beta}$

$=h(\frac{1}{\tan \alpha}+\frac{1}{\tan \beta}) \mathrm{m}$

$=h \frac{(\tan \beta+\tan \alpha)}{\tan \alpha \tan \beta} \mathrm{m}$

$=\frac{h(\tan \alpha+\tan \beta)}{\tan \alpha \tan \beta} \mathrm{m}$

证毕。

教程点

更新于: 2022年10月10日

64 次浏览

开启你的 职业生涯

通过完成课程获得认证

立即开始