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法律从一架垂直于笔直水平公路的飞机上，观察到飞机两侧相邻两块里程碑的俯角分别为\( \alpha \)和\( \beta \)。证明飞机的高度（以英里为单位）由\( \frac{\tan \alpha \tan \beta}{\tan \alpha+\tan \beta} \)给出。
已知
从一架垂直于笔直水平公路的飞机上，观察到飞机两侧相邻两块里程碑的俯角分别为\( \alpha \)和\( \beta \)。
要求
我们必须证明飞机的高度（以英里为单位）由\( \frac{\tan \alpha \tan \beta}{\tan \alpha+\tan \beta} \)给出。
解答
设 $B$ 为飞机，$C$ 和 $D$ 为两点，使得从 $B$ 的俯角分别为 $\alpha$ 和 $\beta$。
$CD=1\ 公里$
设飞机的高度为 $h$，$C$ 和 $A$ 之间的距离为 $x\ 公里$。
这意味着，
$CA=x\ 公里$ 且 $AD=1-x\ 公里$
$\angle \mathrm{C}=\alpha, \angle \mathrm{D}=\beta$ (内错角相等)
在 $\Delta \mathrm{ACB}$ 中，
$\tan \alpha=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$
$\Rightarrow \tan \alpha=\frac{h}{x}$
$\Rightarrow x=\frac{h}{\tan \alpha}$...........(i)
类似地，
在 $\triangle \mathrm{ABD}$ 中，
$\tan \beta=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}}$
$\Rightarrow \tan \beta=\frac{h}{1-x}$
$\Rightarrow h=\tan \beta(1-x)$
$\Rightarrow h=\tan \beta-x \tan \beta$
$\Rightarrow h=\tan \beta-\frac{h}{\tan \alpha} \tan \beta$ [由 (i)]
$\Rightarrow h+h \frac{\tan \beta}{\tan \alpha}=\tan \beta$
$\Rightarrow h(1+\frac{\tan \beta}{\tan \alpha})=\tan \beta$
$\Rightarrow h\frac{(\tan \alpha+\tan \beta)}{\tan \alpha}=\tan \beta$
$\Rightarrow h=\frac{\tan \alpha \tan \beta}{\tan \alpha+\tan \beta}$
证毕。
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