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法律研究一座塔在它基底平面上的A点处张成一个角\( \alpha \)，并且在A点上方b米处的点处，塔基的俯角为\( \beta \)。证明塔的高度为\( b \tan \alpha \cot \beta \)。
已知
一座塔在它基底平面上的A点处张成一个角\( \alpha \)，并且在A点上方b米处的点处，塔基的俯角为\( \beta \)。
要求
我们需要证明塔的高度为\( b \tan \alpha \cot \beta \)。
解答
设$CD$为该塔，它在它基底平面上的A点处张成一个角\( \alpha \)，并且在A点上方b米处的点处，塔基的俯角为\( \beta \)。
从图中可以看出，
$AB = b\ 米, \angle \mathrm{DAC}=\alpha \mathrm{BCA}=\beta$
设塔的高度为$\mathrm{CD}=h\ 米$ 且 $\mathrm{AC}=x\ 米$
在\( \Delta ADC\)中，
$\tan \theta=\frac{\text { 高 }}{\text { 底 }}$
$\tan \alpha=\frac{\mathrm{DC}}{\mathrm{AC}}$
$\tan \alpha=\frac{h}{x}$...........(i)
$\Rightarrow x=\frac{h}{\tan \alpha}$
同样地，
在$\triangle \mathrm{ABC}$中
$\tan \beta=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$
$=\frac{b}{x}$
$\Rightarrow x=\frac{b}{\tan \beta}$...........(ii)
从 (i) 和 (ii) 可以得到，
$\frac{h}{\tan \alpha}=\frac{b}{\tan \beta}$
$\Rightarrow h=b \frac{\tan \alpha}{\tan \beta}$
$=b \tan \alpha\cot \beta$
证毕。
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