一座塔在它基底平面上的A点处张成一个角$\alpha$，并且在A点上方b米处的点处，塔基的俯角为$\beta$。证明塔的高度为$b \tan \alpha \cot \beta$。

已知

一座塔在它基底平面上的A点处张成一个角$\alpha$，并且在A点上方b米处的点处，塔基的俯角为$\beta$。

要求

我们需要证明塔的高度为$b \tan \alpha \cot \beta$。

解答

设$CD$为该塔，它在它基底平面上的A点处张成一个角$\alpha$，并且在A点上方b米处的点处，塔基的俯角为$\beta$。

从图中可以看出，
$AB = b\ 米, \angle \mathrm{DAC}=\alpha \mathrm{BCA}=\beta$

设塔的高度为$\mathrm{CD}=h\ 米$ 且 $\mathrm{AC}=x\ 米$

在$\Delta ADC$中，

$\tan \theta=\frac{\text { 高 }}{\text { 底 }}$

$\tan \alpha=\frac{\mathrm{DC}}{\mathrm{AC}}$

$\tan \alpha=\frac{h}{x}$...........(i)

$\Rightarrow x=\frac{h}{\tan \alpha}$

同样地，

在$\triangle \mathrm{ABC}$中

$\tan \beta=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$

$=\frac{b}{x}$

$\Rightarrow x=\frac{b}{\tan \beta}$...........(ii)

从 (i) 和 (ii) 可以得到，

$\frac{h}{\tan \alpha}=\frac{b}{\tan \beta}$

$\Rightarrow h=b \frac{\tan \alpha}{\tan \beta}$

$=b \tan \alpha\cot \beta$

证毕。

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更新于: 2022年10月10日

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