从一座高 $h$ 米的塔顶，观察到与塔底在同一直线上的两个物体的俯角分别为 $\alpha$ 和 $\beta(\beta>\alpha)$。求这两个物体之间的距离。

已知

从一座高 $h$ 米的塔顶，观察到与塔底在同一直线上的两个物体的俯角分别为 $\alpha$ 和 $\beta(\beta>\alpha)$。

求解

我们需要求出这两个物体之间的距离。

解题步骤

设这两个物体之间的距离为 $x\ 米$，$DA= y\ 米$，塔高为 $AB = h\ 米$。

根据图形，

$\angle XBC=\angle BCA = \alpha$ (内错角相等)
$\angle XBD = \angle BDA = \beta$ (内错角相等)
在 $\Delta \mathrm{ABD}$ 中，

$\tan \beta=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}}$

$=\frac{h}{y}$

$\Rightarrow y=\frac{h}{\tan \beta}$.............(i)

在 $\Delta \mathrm{BCA}$ 中，

$\tan \alpha=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$

$\Rightarrow \tan \alpha=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{CD}+\mathrm{AD}}$

$\Rightarrow \tan \alpha=\frac{h}{x+y}$

$\Rightarrow x+y=\frac{h}{\tan \alpha}$

$\Rightarrow y=\frac{h}{\tan \alpha}-x$............(ii)

由公式 (i) 和 (ii)，

$\frac{h}{\tan \beta}=\frac{h}{\tan \alpha}-x$

$x=\frac{h}{\tan \alpha}-\frac{h}{\tan \beta}$

$x=h(\frac{1}{\tan \alpha}-\frac{1}{\tan \beta})$

$x=h(\cot \alpha-\cot \beta)$

因此，这两个物体之间的距离为 $h(\cot \alpha-\cot \beta)$。

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更新于： 2022年10月10日

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