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法律研究从一座高 \( h \) 米的塔顶，观察到与塔底在同一直线上的两个物体的俯角分别为 \( \alpha \) 和 \( \beta(\beta>\alpha) \)。求这两个物体之间的距离。
已知
从一座高 \( h \) 米的塔顶，观察到与塔底在同一直线上的两个物体的俯角分别为 \( \alpha \) 和 \( \beta(\beta>\alpha) \)。
求解
我们需要求出这两个物体之间的距离。
解题步骤
设这两个物体之间的距离为 $x\ 米$，$DA= y\ 米$，塔高为 $AB = h\ 米$。
根据图形，
$\angle XBC=\angle BCA = \alpha$ (内错角相等)
$\angle XBD = \angle BDA = \beta$ (内错角相等)
在 $\Delta \mathrm{ABD}$ 中，
$\tan \beta=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}}$
$=\frac{h}{y}$
$\Rightarrow y=\frac{h}{\tan \beta}$.............(i)
在 $\Delta \mathrm{BCA}$ 中，
$\tan \alpha=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$
$\Rightarrow \tan \alpha=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{CD}+\mathrm{AD}}$
$\Rightarrow \tan \alpha=\frac{h}{x+y}$
$\Rightarrow x+y=\frac{h}{\tan \alpha}$
$\Rightarrow y=\frac{h}{\tan \alpha}-x$............(ii)
由公式 (i) 和 (ii)，
$\frac{h}{\tan \beta}=\frac{h}{\tan \alpha}-x$
$x=\frac{h}{\tan \alpha}-\frac{h}{\tan \beta}$
$x=h(\frac{1}{\tan \alpha}-\frac{1}{\tan \beta})$
$x=h(\cot \alpha-\cot \beta)$
因此，这两个物体之间的距离为 $h(\cot \alpha-\cot \beta)$。
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