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法律研究一栋房子的窗户距离地面 $h$ 米。从窗户处，观察到另一栋位于巷子对面房屋的顶部和底部的仰角和俯角分别为 $\alpha$ 和 $\beta$。证明这栋房屋的高度为 $h( 1+tan\alpha cot\beta)$ 米。
已知：一栋房子的窗户距离地面 $h$ 米。从窗户处，观察到另一栋位于巷子对面房屋的顶部和底部的仰角和俯角分别为 $\alpha$ 和 $\beta$。
要求：证明这栋房屋的高度为 $h( 1+tan\alpha cot\beta)$ 米。
解答
设另一栋房屋的高度为 '$H$'。
现在，在 $\vartriangle DEC$ 中，
$\Rightarrow tan\alpha =\frac{DC}{EC}$
$=\frac{H-h}{EC}$
$\Rightarrow EC=\frac{H-h}{tan\alpha}\ .....\ ( i)$
在 $\vartriangle EBA$ 中，
$\Rightarrow tan\beta =\frac{EA}{AB}$
$=\frac{h}{EC}\ .......\ [\therefore AB=EC]$
$\Rightarrow EC=\frac{h}{tan\beta }\ ....... ( ii)$
由 $( i)$ 和 $( ii)$，得到
$\Rightarrow \frac{h}{tan\beta}=\frac{H−h}{tan\alpha}$
$\Rightarrow htan\alpha =Htan\beta −htan\beta $
$\Rightarrow H tan\beta =h(tan\alpha +tan\beta )$
$\Rightarrow H=h( \frac{tan\alpha}{tan\beta}+\frac{tan\beta}{tan\beta})$
$\Rightarrow H=h(1+tan\alpha cot\beta )$
因此，得证。
更新于： 2022年10月10日
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